Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61608 / 34584
↖ ↑ ↗
← N 64.444372°
W 10.788574°		 ← 131.76 m → N 64.444372°
W 10.785827°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
N 64.443187°
W 10.788574°		 ← 131.76 m →
17 360 m²		 N 64.443187°
W 10.785827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470035552978516 y=0.263858795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470035552978516 × 217)
    floor (0.470035552978516 × 131072)
    floor (61608.5)     		tx = 61608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263858795166016 × 217)
    floor (0.263858795166016 × 131072)
    floor (34584.5)     		ty = 34584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61608 / 34584 ti = "17/61608/34584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61608/34584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61608 ÷ 217
    61608 ÷ 131072     		x = 0.47003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34584 ÷ 217
    34584 ÷ 131072     		y = 0.26385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.0599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18829614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26385498046875 × 2 - 1) × π
    0.4722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48374291703998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18829614} λ = -0.18829614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48374291703998))-π/2
    2×atan(4.40941892191907)-π/2
    2×1.34778140481742-π/2
    2.69556280963484-1.57079632675     		φ = 1.12476648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18829614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.788574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12476648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.444372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61608 KachelY 34584 -0.18829614 1.12476648 -10.788574 64.444372
    Oben rechts KachelX + 1 61609 KachelY 34584 -0.18824820 1.12476648 -10.785827 64.444372
    Unten links KachelX 61608 KachelY + 1 34585 -0.18829614 1.12474580 -10.788574 64.443187
    Unten rechts KachelX + 1 61609 KachelY + 1 34585 -0.18824820 1.12474580 -10.785827 64.443187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12476648-1.12474580) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12476648-1.12474580) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18829614--0.18824820) × cos(1.12476648) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431387202568955 × 6371000     		do = 131.756755571143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18829614--0.18824820) × cos(1.12474580) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431405859287812 × 6371000     		du = 131.762453813306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12476648)-sin(1.12474580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431387202568955-0.431405859287812)×R²
    abs(-0.18824820--0.18829614)×1.86567188569797e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86567188569797e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86567188569797e-05×40589641000000     		ar = 17359.6283306187m²