Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61608 / 12584
↖ ↑ ↗
← N 73.565739°
E158.422852°		 ← 172.80 m → N 73.565739°
E158.428345°		 →
↑
172.78 m
↓
↑
172.78 m
↓
N 73.564185°
E158.422852°		 ← 172.82 m →
29 858 m²		 N 73.564185°
E158.428345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940071105957031 y=0.192024230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940071105957031 × 216)
    floor (0.940071105957031 × 65536)
    floor (61608.5)     		tx = 61608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192024230957031 × 216)
    floor (0.192024230957031 × 65536)
    floor (12584.5)     		ty = 12584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61608 / 12584 ti = "16/61608/12584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61608/12584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61608 ÷ 216
    61608 ÷ 65536     		x = 0.9400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12584 ÷ 216
    12584 ÷ 65536     		y = 0.1920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9400634765625 × 2 - 1) × π
    0.880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.76500037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1920166015625 × 2 - 1) × π
    0.615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93511676386243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76500037} λ = 2.76500037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93511676386243))-π/2
    2×atan(6.92485258070815)-π/2
    2×1.42738034487523-π/2
    2.85476068975047-1.57079632675     		φ = 1.28396436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76500037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28396436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.565739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61608 KachelY 12584 2.76500037 1.28396436 158.422852 73.565739
    Oben rechts KachelX + 1 61609 KachelY 12584 2.76509624 1.28396436 158.428345 73.565739
    Unten links KachelX 61608 KachelY + 1 12585 2.76500037 1.28393724 158.422852 73.564185
    Unten rechts KachelX + 1 61609 KachelY + 1 12585 2.76509624 1.28393724 158.428345 73.564185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28396436-1.28393724) × R
    2.71199999999361e-05 × 6371000     		dl = 172.781519999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28396436-1.28393724) × R
    2.71199999999361e-05 × 6371000     		dr = 172.781519999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76500037-2.76509624) × cos(1.28396436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282915046797464 × 6371000     		do = 172.801050532865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76500037-2.76509624) × cos(1.28393724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282941058705046 × 6371000     		du = 172.81693828789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28396436)-sin(1.28393724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282915046797464-0.282941058705046)×R²
    abs(2.76509624-2.76500037)×2.601190758178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.601190758178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.601190758178e-05×40589641000000     		ar = 29858.2007258667m²