Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61606 / 34662
↖ ↑ ↗
← N 64.351799°
W 10.794068°		 ← 132.20 m → N 64.351799°
W 10.791321°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
N 64.350610°
W 10.794068°		 ← 132.21 m →
17 477 m²		 N 64.350610°
W 10.791321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470020294189453 y=0.264453887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470020294189453 × 217)
    floor (0.470020294189453 × 131072)
    floor (61606.5)     		tx = 61606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264453887939453 × 217)
    floor (0.264453887939453 × 131072)
    floor (34662.5)     		ty = 34662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61606 / 34662 ti = "17/61606/34662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61606/34662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61606 ÷ 217
    61606 ÷ 131072     		x = 0.470016479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34662 ÷ 217
    34662 ÷ 131072     		y = 0.264450073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470016479492188 × 2 - 1) × π
    -0.059967041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18839202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264450073242188 × 2 - 1) × π
    0.471099853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48000383886961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18839202} λ = -0.18839202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48000383886961))-π/2
    2×atan(4.39296254489682)-π/2
    2×1.34697354814246-π/2
    2.69394709628492-1.57079632675     		φ = 1.12315077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18839202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.794068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12315077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.351799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61606 KachelY 34662 -0.18839202 1.12315077 -10.794068 64.351799
    Oben rechts KachelX + 1 61607 KachelY 34662 -0.18834408 1.12315077 -10.791321 64.351799
    Unten links KachelX 61606 KachelY + 1 34663 -0.18839202 1.12313002 -10.794068 64.350610
    Unten rechts KachelX + 1 61607 KachelY + 1 34663 -0.18834408 1.12313002 -10.791321 64.350610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12315077-1.12313002) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12315077-1.12313002) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18839202--0.18834408) × cos(1.12315077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432844278914233 × 6371000     		do = 132.201784192136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18839202--0.18834408) × cos(1.12313002) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432862984296724 × 6371000     		du = 132.207497297425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12315077)-sin(1.12313002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432844278914233-0.432862984296724)×R²
    abs(-0.18834408--0.18839202)×1.87053824915462e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87053824915462e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87053824915462e-05×40589641000000     		ar = 17477.2221489473m²