Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61602 / 33690
↖ ↑ ↗
← N 65.483347°
W 10.805054°		 ← 126.71 m → N 65.483347°
W 10.802307°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
N 65.482207°
W 10.805054°		 ← 126.72 m →
16 065 m²		 N 65.482207°
W 10.802307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469989776611328 y=0.257038116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469989776611328 × 217)
    floor (0.469989776611328 × 131072)
    floor (61602.5)     		tx = 61602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257038116455078 × 217)
    floor (0.257038116455078 × 131072)
    floor (33690.5)     		ty = 33690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61602 / 33690 ti = "17/61602/33690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61602/33690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61602 ÷ 217
    61602 ÷ 131072     		x = 0.469985961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33690 ÷ 217
    33690 ÷ 131072     		y = 0.257034301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469985961914062 × 2 - 1) × π
    -0.060028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18858376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257034301757812 × 2 - 1) × π
    0.485931396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52659850530031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18858376} λ = -0.18858376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52659850530031))-π/2
    2×atan(4.60249480458685)-π/2
    2×1.35684816639214-π/2
    2.71369633278428-1.57079632675     		φ = 1.14290001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18858376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.805054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14290001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.483347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61602 KachelY 33690 -0.18858376 1.14290001 -10.805054 65.483347
    Oben rechts KachelX + 1 61603 KachelY 33690 -0.18853583 1.14290001 -10.802307 65.483347
    Unten links KachelX 61602 KachelY + 1 33691 -0.18858376 1.14288011 -10.805054 65.482207
    Unten rechts KachelX + 1 61603 KachelY + 1 33691 -0.18853583 1.14288011 -10.802307 65.482207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14290001-1.14288011) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dl = 126.782900000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14290001-1.14288011) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dr = 126.782900000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18858376--0.18853583) × cos(1.14290001) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.414957705430999 × 6371000     		do = 126.712327294556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18858376--0.18853583) × cos(1.14288011) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.4149758111788 × 6371000     		du = 126.717856102459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14290001)-sin(1.14288011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414957705430999-0.4149758111788)×R²
    abs(-0.18853583--0.18858376)×1.81057478015334e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81057478015334e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81057478015334e-05×40589641000000     		ar = 16065.306799884m²