Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61600 / 33865
↖ ↑ ↗
← N 65.283134°
W 10.810547°		 ← 127.71 m → N 65.283134°
W 10.807800°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
N 65.281986°
W 10.810547°		 ← 127.71 m →
16 306 m²		 N 65.281986°
W 10.807800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469974517822266 y=0.258373260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469974517822266 × 217)
    floor (0.469974517822266 × 131072)
    floor (61600.5)     		tx = 61600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258373260498047 × 217)
    floor (0.258373260498047 × 131072)
    floor (33865.5)     		ty = 33865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61600 / 33865 ti = "17/61600/33865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61600/33865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61600 ÷ 217
    61600 ÷ 131072     		x = 0.469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33865 ÷ 217
    33865 ÷ 131072     		y = 0.258369445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.06005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18867964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258369445800781 × 2 - 1) × π
    0.483261108398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.5182095478668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18867964} λ = -0.18867964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5182095478668))-π/2
    2×atan(4.56404616905037)-π/2
    2×1.35510097932757-π/2
    2.71020195865515-1.57079632675     		φ = 1.13940563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18867964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13940563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.283134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61600 KachelY 33865 -0.18867964 1.13940563 -10.810547 65.283134
    Oben rechts KachelX + 1 61601 KachelY 33865 -0.18863170 1.13940563 -10.807800 65.283134
    Unten links KachelX 61600 KachelY + 1 33866 -0.18867964 1.13938559 -10.810547 65.281986
    Unten rechts KachelX + 1 61601 KachelY + 1 33866 -0.18863170 1.13938559 -10.807800 65.281986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13940563-1.13938559) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dl = 127.674839999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13940563-1.13938559) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dr = 127.674839999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18867964--0.18863170) × cos(1.13940563) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418134494654653 × 6371000     		do = 127.709037449414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18867964--0.18863170) × cos(1.13938559) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418152698608695 × 6371000     		du = 127.714597405548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13940563)-sin(1.13938559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418134494654653-0.418152698608695)×R²
    abs(-0.18863170--0.18867964)×1.82039540418399e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82039540418399e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82039540418399e-05×40589641000000     		ar = 16305.5858566405m²