Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6160 / 10007
↖ ↑ ↗
← S 37.002553°
W 44.648437°		 ← 1 951.17 m → S 37.002553°
W 44.626465°		 →
↑
1 950.93 m
↓
↑
1 950.93 m
↓
S 37.020098°
W 44.648437°		 ← 1 950.72 m →
3 806 157 m²		 S 37.020098°
W 44.626465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376007080078125 y=0.610809326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376007080078125 × 214)
    floor (0.376007080078125 × 16384)
    floor (6160.5)     		tx = 6160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610809326171875 × 214)
    floor (0.610809326171875 × 16384)
    floor (10007.5)     		ty = 10007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6160 / 10007 ti = "14/6160/10007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6160/10007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6160 ÷ 214
    6160 ÷ 16384     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10007 ÷ 214
    10007 ÷ 16384     		y = 0.61077880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61077880859375 × 2 - 1) × π
    -0.2215576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.696043782483215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.696043782483215))-π/2
    2×atan(0.498553794590226)-π/2
    2×0.462489975519487-π/2
    0.924979951038974-1.57079632675     		φ = -0.64581638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64581638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.002553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6160 KachelY 10007 -0.77926224 -0.64581638 -44.648437 -37.002553
    Oben rechts KachelX + 1 6161 KachelY 10007 -0.77887875 -0.64581638 -44.626465 -37.002553
    Unten links KachelX 6160 KachelY + 1 10008 -0.77926224 -0.64612260 -44.648437 -37.020098
    Unten rechts KachelX + 1 6161 KachelY + 1 10008 -0.77887875 -0.64612260 -44.626465 -37.020098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64581638--0.64612260) × R
    0.000306220000000024 × 6371000     		dl = 1950.92762000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64581638--0.64612260) × R
    0.000306220000000024 × 6371000     		dr = 1950.92762000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77887875) × cos(-0.64581638) × R
    0.000383490000000042 × 0.798608694325721 × 6371000     		do = 1951.1725733994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77887875) × cos(-0.64612260) × R
    0.000383490000000042 × 0.798424358192631 × 6371000     		du = 1950.72220063271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64581638)-sin(-0.64612260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.798608694325721-0.798424358192631)×R²
    abs(-0.77887875--0.77926224)×0.000184336133089658×R²
    0.000383490000000042×0.000184336133089658×6371000²
    0.000383490000000042×0.000184336133089658×40589641000000     		ar = 3806157.17223852m²