Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61598 / 33866
↖ ↑ ↗
← N 65.281986°
W 10.816040°		 ← 127.71 m → N 65.281986°
W 10.813293°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
N 65.280837°
W 10.816040°		 ← 127.72 m →
16 314 m²		 N 65.280837°
W 10.813293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469959259033203 y=0.258380889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469959259033203 × 217)
    floor (0.469959259033203 × 131072)
    floor (61598.5)     		tx = 61598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258380889892578 × 217)
    floor (0.258380889892578 × 131072)
    floor (33866.5)     		ty = 33866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61598 / 33866 ti = "17/61598/33866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61598/33866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61598 ÷ 217
    61598 ÷ 131072     		x = 0.469955444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33866 ÷ 217
    33866 ÷ 131072     		y = 0.258377075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469955444335938 × 2 - 1) × π
    -0.060089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18877551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258377075195312 × 2 - 1) × π
    0.483245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51816161096718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18877551} λ = -0.18877551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51816161096718))-π/2
    2×atan(4.56382738807118)-π/2
    2×1.35509095707376-π/2
    2.71018191414751-1.57079632675     		φ = 1.13938559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18877551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.816040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13938559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.281986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61598 KachelY 33866 -0.18877551 1.13938559 -10.816040 65.281986
    Oben rechts KachelX + 1 61599 KachelY 33866 -0.18872757 1.13938559 -10.813293 65.281986
    Unten links KachelX 61598 KachelY + 1 33867 -0.18877551 1.13936554 -10.816040 65.280837
    Unten rechts KachelX + 1 61599 KachelY + 1 33867 -0.18872757 1.13936554 -10.813293 65.280837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13938559-1.13936554) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13938559-1.13936554) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18877551--0.18872757) × cos(1.13938559) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418152698608695 × 6371000     		do = 127.714597405548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18877551--0.18872757) × cos(1.13936554) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41817091147849 × 6371000     		du = 127.720160084783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13938559)-sin(1.13936554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418152698608695-0.41817091147849)×R²
    abs(-0.18872757--0.18877551)×1.82128697949202e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82128697949202e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82128697949202e-05×40589641000000     		ar = 16314.4327713707m²