Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61597 / 33863
↖ ↑ ↗
← N 65.285431°
W 10.818787°		 ← 127.70 m → N 65.285431°
W 10.816040°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
N 65.284283°
W 10.818787°		 ← 127.70 m →
16 304 m²		 N 65.284283°
W 10.816040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469951629638672 y=0.258358001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469951629638672 × 217)
    floor (0.469951629638672 × 131072)
    floor (61597.5)     		tx = 61597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258358001708984 × 217)
    floor (0.258358001708984 × 131072)
    floor (33863.5)     		ty = 33863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61597 / 33863 ti = "17/61597/33863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61597/33863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61597 ÷ 217
    61597 ÷ 131072     		x = 0.469947814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33863 ÷ 217
    33863 ÷ 131072     		y = 0.258354187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469947814941406 × 2 - 1) × π
    -0.0601043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18882345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258354187011719 × 2 - 1) × π
    0.483291625976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.51830542166604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18882345} λ = -0.18882345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51830542166604))-π/2
    2×atan(4.56448376247304)-π/2
    2×1.35512102252599-π/2
    2.71024204505197-1.57079632675     		φ = 1.13944572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18882345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.818787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13944572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.285431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61597 KachelY 33863 -0.18882345 1.13944572 -10.818787 65.285431
    Oben rechts KachelX + 1 61598 KachelY 33863 -0.18877551 1.13944572 -10.816040 65.285431
    Unten links KachelX 61597 KachelY + 1 33864 -0.18882345 1.13942568 -10.818787 65.284283
    Unten rechts KachelX + 1 61598 KachelY + 1 33864 -0.18877551 1.13942568 -10.816040 65.284283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13944572-1.13942568) × R
    2.004000000011e-05 × 6371000     		dl = 127.674840000701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13944572-1.13942568) × R
    2.004000000011e-05 × 6371000     		dr = 127.674840000701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18882345--0.18877551) × cos(1.13944572) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418098077158787 × 6371000     		do = 127.69791460879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18882345--0.18877551) × cos(1.13942568) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418116281448753 × 6371000     		du = 127.703474667524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13944572)-sin(1.13942568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418098077158787-0.418116281448753)×R²
    abs(-0.18877551--0.18882345)×1.82042899655177e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82042899655177e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82042899655177e-05×40589641000000     		ar = 16304.1657563581m²