Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61597 / 12563
↖ ↑ ↗
← N 73.598344°
E158.362427°		 ← 172.47 m → N 73.598344°
E158.367920°		 →
↑
172.46 m
↓
↑
172.46 m
↓
N 73.596793°
E158.362427°		 ← 172.48 m →
29 746 m²		 N 73.596793°
E158.367920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939903259277344 y=0.191703796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939903259277344 × 216)
    floor (0.939903259277344 × 65536)
    floor (61597.5)     		tx = 61597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191703796386719 × 216)
    floor (0.191703796386719 × 65536)
    floor (12563.5)     		ty = 12563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61597 / 12563 ti = "16/61597/12563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61597/12563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61597 ÷ 216
    61597 ÷ 65536     		x = 0.939895629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12563 ÷ 216
    12563 ÷ 65536     		y = 0.191696166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939895629882812 × 2 - 1) × π
    0.879791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76394576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191696166992188 × 2 - 1) × π
    0.616607666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93713011364647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76394576} λ = 2.76394576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93713011364647))-π/2
    2×atan(6.93880877579284)-π/2
    2×1.42766487351695-π/2
    2.85532974703389-1.57079632675     		φ = 1.28453342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76394576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.362427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28453342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.598344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61597 KachelY 12563 2.76394576 1.28453342 158.362427 73.598344
    Oben rechts KachelX + 1 61598 KachelY 12563 2.76404163 1.28453342 158.367920 73.598344
    Unten links KachelX 61597 KachelY + 1 12564 2.76394576 1.28450635 158.362427 73.596793
    Unten rechts KachelX + 1 61598 KachelY + 1 12564 2.76404163 1.28450635 158.367920 73.596793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28453342-1.28450635) × R
    2.70700000000179e-05 × 6371000     		dl = 172.462970000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28453342-1.28450635) × R
    2.70700000000179e-05 × 6371000     		dr = 172.462970000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76394576-2.76404163) × cos(1.28453342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282369189981371 × 6371000     		do = 172.467647865424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76394576-2.76404163) × cos(1.28450635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282395158286235 × 6371000     		du = 172.483508988443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28453342)-sin(1.28450635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282369189981371-0.282395158286235)×R²
    abs(2.76404163-2.76394576)×2.59683048642878e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.59683048642878e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.59683048642878e-05×40589641000000     		ar = 29745.6505094189m²