Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61596 / 12532
↖ ↑ ↗
← N 73.646359°
E158.356933°		 ← 171.99 m → N 73.646359°
E158.362427°		 →
↑
172.02 m
↓
↑
172.02 m
↓
N 73.644812°
E158.356933°		 ← 172.01 m →
29 587 m²		 N 73.644812°
E158.362427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939888000488281 y=0.191230773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939888000488281 × 216)
    floor (0.939888000488281 × 65536)
    floor (61596.5)     		tx = 61596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191230773925781 × 216)
    floor (0.191230773925781 × 65536)
    floor (12532.5)     		ty = 12532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61596 / 12532 ti = "16/61596/12532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61596/12532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61596 ÷ 216
    61596 ÷ 65536     		x = 0.93988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12532 ÷ 216
    12532 ÷ 65536     		y = 0.19122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93988037109375 × 2 - 1) × π
    0.8797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76384988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19122314453125 × 2 - 1) × π
    0.6175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94010220142291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76384988} λ = 2.76384988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94010220142291))-π/2
    2×atan(6.95946220123194)-π/2
    2×1.42808388885668-π/2
    2.85616777771335-1.57079632675     		φ = 1.28537145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76384988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28537145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.646359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61596 KachelY 12532 2.76384988 1.28537145 158.356933 73.646359
    Oben rechts KachelX + 1 61597 KachelY 12532 2.76394576 1.28537145 158.362427 73.646359
    Unten links KachelX 61596 KachelY + 1 12533 2.76384988 1.28534445 158.356933 73.644812
    Unten rechts KachelX + 1 61597 KachelY + 1 12533 2.76394576 1.28534445 158.362427 73.644812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28537145-1.28534445) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dl = 172.016999999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28537145-1.28534445) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dr = 172.016999999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76384988-2.76394576) × cos(1.28537145) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.281565163872881 × 6371000     		do = 171.994497068079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76384988-2.76394576) × cos(1.28534445) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.281591071407184 × 6371000     		du = 172.010322723751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28537145)-sin(1.28534445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281565163872881-0.281591071407184)×R²
    abs(2.76394576-2.76384988)×2.59075343029824e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.59075343029824e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.59075343029824e-05×40589641000000     		ar = 29587.3385449304m²