Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61594 / 40522
↖ ↑ ↗
← N 56.447313°
W 10.827026°		 ← 168.81 m → N 56.447313°
W 10.824280°		 →
↑
168.83 m
↓
↑
168.83 m
↓
N 56.445795°
W 10.827026°		 ← 168.82 m →
28 501 m²		 N 56.445795°
W 10.824280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469928741455078 y=0.309162139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469928741455078 × 217)
    floor (0.469928741455078 × 131072)
    floor (61594.5)     		tx = 61594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309162139892578 × 217)
    floor (0.309162139892578 × 131072)
    floor (40522.5)     		ty = 40522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61594 / 40522 ti = "17/61594/40522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61594/40522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61594 ÷ 217
    61594 ÷ 131072     		x = 0.469924926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40522 ÷ 217
    40522 ÷ 131072     		y = 0.309158325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469924926757812 × 2 - 1) × π
    -0.060150146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18896726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309158325195312 × 2 - 1) × π
    0.381683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19909360709608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18896726} λ = -0.18896726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19909360709608))-π/2
    2×atan(3.31710895572352)-π/2
    2×1.27799389678193-π/2
    2.55598779356387-1.57079632675     		φ = 0.98519147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18896726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.827026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98519147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.447313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61594 KachelY 40522 -0.18896726 0.98519147 -10.827026 56.447313
    Oben rechts KachelX + 1 61595 KachelY 40522 -0.18891932 0.98519147 -10.824280 56.447313
    Unten links KachelX 61594 KachelY + 1 40523 -0.18896726 0.98516497 -10.827026 56.445795
    Unten rechts KachelX + 1 61595 KachelY + 1 40523 -0.18891932 0.98516497 -10.824280 56.445795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98519147-0.98516497) × R
    2.64999999999294e-05 × 6371000     		dl = 168.83149999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98519147-0.98516497) × R
    2.64999999999294e-05 × 6371000     		dr = 168.83149999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18896726--0.18891932) × cos(0.98519147) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552703557708065 × 6371000     		do = 168.809893113606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18896726--0.18891932) × cos(0.98516497) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552725642029189 × 6371000     		du = 168.816638233727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98519147)-sin(0.98516497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552703557708065-0.552725642029189)×R²
    abs(-0.18891932--0.18896726)×2.20843211233834e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20843211233834e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20843211233834e-05×40589641000000     		ar = 28500.9968651907m²