Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61594 / 12570
↖ ↑ ↗
← N 73.587483°
E158.345947°		 ← 172.58 m → N 73.587483°
E158.351440°		 →
↑
172.59 m
↓
↑
172.59 m
↓
N 73.585930°
E158.345947°		 ← 172.59 m →
29 787 m²		 N 73.585930°
E158.351440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939857482910156 y=0.191810607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939857482910156 × 216)
    floor (0.939857482910156 × 65536)
    floor (61594.5)     		tx = 61594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191810607910156 × 216)
    floor (0.191810607910156 × 65536)
    floor (12570.5)     		ty = 12570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61594 / 12570 ti = "16/61594/12570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61594/12570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61594 ÷ 216
    61594 ÷ 65536     		x = 0.939849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12570 ÷ 216
    12570 ÷ 65536     		y = 0.191802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939849853515625 × 2 - 1) × π
    0.87969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.76365814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191802978515625 × 2 - 1) × π
    0.61639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93645899705179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76365814} λ = 2.76365814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93645899705179))-π/2
    2×atan(6.93415358833759)-π/2
    2×1.42757009168569-π/2
    2.85514018337139-1.57079632675     		φ = 1.28434386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76365814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.345947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28434386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.587483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61594 KachelY 12570 2.76365814 1.28434386 158.345947 73.587483
    Oben rechts KachelX + 1 61595 KachelY 12570 2.76375401 1.28434386 158.351440 73.587483
    Unten links KachelX 61594 KachelY + 1 12571 2.76365814 1.28431677 158.345947 73.585930
    Unten rechts KachelX + 1 61595 KachelY + 1 12571 2.76375401 1.28431677 158.351440 73.585930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28434386-1.28431677) × R
    2.70899999998964e-05 × 6371000     		dl = 172.59038999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28434386-1.28431677) × R
    2.70899999998964e-05 × 6371000     		dr = 172.59038999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76365814-2.76375401) × cos(1.28434386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282551030916781 × 6371000     		do = 172.578714084858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76365814-2.76375401) × cos(1.28431677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282577016957058 × 6371000     		du = 172.59458604045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28434386)-sin(1.28431677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282551030916781-0.282577016957058)×R²
    abs(2.76375401-2.76365814)×2.59860402770928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.59860402770928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.59860402770928e-05×40589641000000     		ar = 29786.797244793m²