Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61591 / 12567
↖ ↑ ↗
← N 73.592138°
E158.329468°		 ← 172.53 m → N 73.592138°
E158.334961°		 →
↑
172.53 m
↓
↑
172.53 m
↓
N 73.590586°
E158.329468°		 ← 172.55 m →
29 768 m²		 N 73.590586°
E158.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939811706542969 y=0.191764831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939811706542969 × 216)
    floor (0.939811706542969 × 65536)
    floor (61591.5)     		tx = 61591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191764831542969 × 216)
    floor (0.191764831542969 × 65536)
    floor (12567.5)     		ty = 12567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61591 / 12567 ti = "16/61591/12567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61591/12567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61591 ÷ 216
    61591 ÷ 65536     		x = 0.939804077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12567 ÷ 216
    12567 ÷ 65536     		y = 0.191757202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939804077148438 × 2 - 1) × π
    0.879608154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76337052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191757202148438 × 2 - 1) × π
    0.616485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93674661844951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76337052} λ = 2.76337052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93674661844951))-π/2
    2×atan(6.93614828612981)-π/2
    2×1.42761071994239-π/2
    2.85522143988477-1.57079632675     		φ = 1.28442511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76337052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.329468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28442511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.592138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61591 KachelY 12567 2.76337052 1.28442511 158.329468 73.592138
    Oben rechts KachelX + 1 61592 KachelY 12567 2.76346639 1.28442511 158.334961 73.592138
    Unten links KachelX 61591 KachelY + 1 12568 2.76337052 1.28439803 158.329468 73.590586
    Unten rechts KachelX + 1 61592 KachelY + 1 12568 2.76346639 1.28439803 158.334961 73.590586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28442511-1.28439803) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dl = 172.526679999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28442511-1.28439803) × R
    2.70799999999571e-05 × 6371000     		dr = 172.526679999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76337052-2.76346639) × cos(1.28442511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282473090737399 × 6371000     		do = 172.5311091765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76337052-2.76346639) × cos(1.28439803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282499067806856 × 6371000     		du = 172.546975652824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28442511)-sin(1.28439803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282473090737399-0.282499067806856)×R²
    abs(2.76346639-2.76337052)×2.5977069456784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.5977069456784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.5977069456784e-05×40589641000000     		ar = 29767.5881599219m²