Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61591 / 12536
↖ ↑ ↗
← N 73.640171°
E158.329468°		 ← 172.04 m → N 73.640171°
E158.334961°		 →
↑
172.02 m
↓
↑
172.02 m
↓
N 73.638624°
E158.329468°		 ← 172.06 m →
29 595 m²		 N 73.638624°
E158.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939811706542969 y=0.191291809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939811706542969 × 216)
    floor (0.939811706542969 × 65536)
    floor (61591.5)     		tx = 61591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191291809082031 × 216)
    floor (0.191291809082031 × 65536)
    floor (12536.5)     		ty = 12536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61591 / 12536 ti = "16/61591/12536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61591/12536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61591 ÷ 216
    61591 ÷ 65536     		x = 0.939804077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12536 ÷ 216
    12536 ÷ 65536     		y = 0.1912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939804077148438 × 2 - 1) × π
    0.879608154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76337052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1912841796875 × 2 - 1) × π
    0.617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93971870622595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76337052} λ = 2.76337052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93971870622595))-π/2
    2×atan(6.95679379259799)-π/2
    2×1.42802988947823-π/2
    2.85605977895646-1.57079632675     		φ = 1.28526345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76337052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.329468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28526345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.640171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61591 KachelY 12536 2.76337052 1.28526345 158.329468 73.640171
    Oben rechts KachelX + 1 61592 KachelY 12536 2.76346639 1.28526345 158.334961 73.640171
    Unten links KachelX 61591 KachelY + 1 12537 2.76337052 1.28523645 158.329468 73.638624
    Unten rechts KachelX + 1 61592 KachelY + 1 12537 2.76346639 1.28523645 158.334961 73.638624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28526345-1.28523645) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dl = 172.016999999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28526345-1.28523645) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dr = 172.016999999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76337052-2.76346639) × cos(1.28526345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.281668792778338 × 6371000     		do = 172.039853819669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76337052-2.76346639) × cos(1.28523645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.281694699491408 × 6371000     		du = 172.055677323173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28526345)-sin(1.28523645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281668792778338-0.281694699491408)×R²
    abs(2.76346639-2.76337052)×2.59067130701229e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.59067130701229e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.59067130701229e-05×40589641000000     		ar = 29595.1404919303m²