Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61590 / 34702
↖ ↑ ↗
← N 64.304204°
W 10.838013°		 ← 132.43 m → N 64.304204°
W 10.835266°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
N 64.303013°
W 10.838013°		 ← 132.44 m →
17 533 m²		 N 64.303013°
W 10.835266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469898223876953 y=0.264759063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469898223876953 × 217)
    floor (0.469898223876953 × 131072)
    floor (61590.5)     		tx = 61590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264759063720703 × 217)
    floor (0.264759063720703 × 131072)
    floor (34702.5)     		ty = 34702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61590 / 34702 ti = "17/61590/34702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61590/34702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61590 ÷ 217
    61590 ÷ 131072     		x = 0.469894409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34702 ÷ 217
    34702 ÷ 131072     		y = 0.264755249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469894409179688 × 2 - 1) × π
    -0.060211181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18915901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264755249023438 × 2 - 1) × π
    0.470489501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47808636288481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18915901} λ = -0.18915901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47808636288481))-π/2
    2×atan(4.38454721538935)-π/2
    2×1.34655820506864-π/2
    2.69311641013728-1.57079632675     		φ = 1.12232008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18915901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.838013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12232008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.304204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61590 KachelY 34702 -0.18915901 1.12232008 -10.838013 64.304204
    Oben rechts KachelX + 1 61591 KachelY 34702 -0.18911107 1.12232008 -10.835266 64.304204
    Unten links KachelX 61590 KachelY + 1 34703 -0.18915901 1.12229930 -10.838013 64.303013
    Unten rechts KachelX + 1 61591 KachelY + 1 34703 -0.18911107 1.12229930 -10.835266 64.303013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12232008-1.12229930) × R
    2.07799999998315e-05 × 6371000     		dl = 132.389379998926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12232008-1.12229930) × R
    2.07799999998315e-05 × 6371000     		dr = 132.389379998926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18915901--0.18911107) × cos(1.12232008) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433592970527367 × 6371000     		do = 132.430453882109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18915901--0.18911107) × cos(1.12229930) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433611695475382 × 6371000     		du = 132.436172963213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12232008)-sin(1.12229930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433592970527367-0.433611695475382)×R²
    abs(-0.18911107--0.18915901)×1.87249480144147e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87249480144147e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87249480144147e-05×40589641000000     		ar = 17532.764255675m²