Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6159 / 6737
↖ ↑ ↗
← N 30.429729°
W 44.670410°		 ← 2 106.72 m → N 30.429729°
W 44.648437°		 →
↑
2 106.89 m
↓
↑
2 106.89 m
↓
N 30.410782°
W 44.670410°		 ← 2 107.13 m →
4 439 056 m²		 N 30.410782°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375946044921875 y=0.411224365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375946044921875 × 214)
    floor (0.375946044921875 × 16384)
    floor (6159.5)     		tx = 6159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411224365234375 × 214)
    floor (0.411224365234375 × 16384)
    floor (6737.5)     		ty = 6737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6159 / 6737 ti = "14/6159/6737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6159/6737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6159 ÷ 214
    6159 ÷ 16384     		x = 0.37591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6737 ÷ 214
    6737 ÷ 16384     		y = 0.41119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41119384765625 × 2 - 1) × π
    0.1776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.557985511577454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77964574} λ = -0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557985511577454))-π/2
    2×atan(1.74714934068617)-π/2
    2×1.05094764917847-π/2
    2.10189529835694-1.57079632675     		φ = 0.53109897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53109897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.429729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6159 KachelY 6737 -0.77964574 0.53109897 -44.670410 30.429729
    Oben rechts KachelX + 1 6160 KachelY 6737 -0.77926224 0.53109897 -44.648437 30.429729
    Unten links KachelX 6159 KachelY + 1 6738 -0.77964574 0.53076827 -44.670410 30.410782
    Unten rechts KachelX + 1 6160 KachelY + 1 6738 -0.77926224 0.53076827 -44.648437 30.410782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53109897-0.53076827) × R
    0.000330699999999906 × 6371000     		dl = 2106.8896999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53109897-0.53076827) × R
    0.000330699999999906 × 6371000     		dr = 2106.8896999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77964574--0.77926224) × cos(0.53109897) × R
    0.000383499999999981 × 0.862250983629484 × 6371000     		do = 2106.71928990567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77964574--0.77926224) × cos(0.53076827) × R
    0.000383499999999981 × 0.862418429821831 × 6371000     		du = 2107.12840758733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53109897)-sin(0.53076827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862250983629484-0.862418429821831)×R²
    abs(-0.77926224--0.77964574)×0.000167446192346876×R²
    0.000383499999999981×0.000167446192346876×6371000²
    0.000383499999999981×0.000167446192346876×40589641000000     		ar = 4439056.19606329m²