Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6159 / 14329
↖ ↑ ↗
← S 79.142400°
W 44.670410°		 ← 460.24 m → S 79.142400°
W 44.648437°		 →
↑
460.11 m
↓
↑
460.11 m
↓
S 79.146538°
W 44.670410°		 ← 460.06 m →
211 722 m²		 S 79.146538°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375946044921875 y=0.874603271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375946044921875 × 214)
    floor (0.375946044921875 × 16384)
    floor (6159.5)     		tx = 6159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874603271484375 × 214)
    floor (0.874603271484375 × 16384)
    floor (14329.5)     		ty = 14329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6159 / 14329 ti = "14/6159/14329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6159/14329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6159 ÷ 214
    6159 ÷ 16384     		x = 0.37591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14329 ÷ 214
    14329 ÷ 16384     		y = 0.87457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.7491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35351002374628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77964574} λ = -0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35351002374628))-π/2
    2×atan(0.0950350009915058)-π/2
    2×0.0947504338070645-π/2
    0.189500867614129-1.57079632675     		φ = -1.38129546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38129546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.142400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6159 KachelY 14329 -0.77964574 -1.38129546 -44.670410 -79.142400
    Oben rechts KachelX + 1 6160 KachelY 14329 -0.77926224 -1.38129546 -44.648437 -79.142400
    Unten links KachelX 6159 KachelY + 1 14330 -0.77964574 -1.38136768 -44.670410 -79.146538
    Unten rechts KachelX + 1 6160 KachelY + 1 14330 -0.77926224 -1.38136768 -44.648437 -79.146538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38129546--1.38136768) × R
    7.22200000000672e-05 × 6371000     		dl = 460.113620000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38129546--1.38136768) × R
    7.22200000000672e-05 × 6371000     		dr = 460.113620000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77964574--0.77926224) × cos(-1.38129546) × R
    0.000383499999999981 × 0.188368720549972 × 6371000     		do = 460.237244992233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77964574--0.77926224) × cos(-1.38136768) × R
    0.000383499999999981 × 0.188297792913896 × 6371000     		du = 460.063949023952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38129546)-sin(-1.38136768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188368720549972-0.188297792913896)×R²
    abs(-0.77926224--0.77964574)×7.09276360761346e-05×R²
    0.000383499999999981×7.09276360761346e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.09276360761346e-05×40589641000000     		ar = 211721.557027523m²