Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6159 / 10045
↖ ↑ ↗
← S 37.666429°
W 44.670410°		 ← 1 934.05 m → S 37.666429°
W 44.648437°		 →
↑
1 933.79 m
↓
↑
1 933.79 m
↓
S 37.683820°
W 44.670410°		 ← 1 933.60 m →
3 739 616 m²		 S 37.683820°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375946044921875 y=0.613128662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375946044921875 × 214)
    floor (0.375946044921875 × 16384)
    floor (6159.5)     		tx = 6159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613128662109375 × 214)
    floor (0.613128662109375 × 16384)
    floor (10045.5)     		ty = 10045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6159 / 10045 ti = "14/6159/10045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6159/10045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6159 ÷ 214
    6159 ÷ 16384     		x = 0.37591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10045 ÷ 214
    10045 ÷ 16384     		y = 0.61309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.2261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.710616599967712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77964574} λ = -0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.710616599967712))-π/2
    2×atan(0.491341143105939)-π/2
    2×0.45669655979531-π/2
    0.91339311959062-1.57079632675     		φ = -0.65740321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65740321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.666429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6159 KachelY 10045 -0.77964574 -0.65740321 -44.670410 -37.666429
    Oben rechts KachelX + 1 6160 KachelY 10045 -0.77926224 -0.65740321 -44.648437 -37.666429
    Unten links KachelX 6159 KachelY + 1 10046 -0.77964574 -0.65770674 -44.670410 -37.683820
    Unten rechts KachelX + 1 6160 KachelY + 1 10046 -0.77926224 -0.65770674 -44.648437 -37.683820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65740321--0.65770674) × R
    0.000303529999999941 × 6371000     		dl = 1933.78962999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65740321--0.65770674) × R
    0.000303529999999941 × 6371000     		dr = 1933.78962999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77964574--0.77926224) × cos(-0.65740321) × R
    0.000383499999999981 × 0.791581701834982 × 6371000     		do = 1934.05455308673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77964574--0.77926224) × cos(-0.65770674) × R
    0.000383499999999981 × 0.791396189316895 × 6371000     		du = 1933.60129433981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65740321)-sin(-0.65770674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791581701834982-0.791396189316895)×R²
    abs(-0.77926224--0.77964574)×0.000185512518086184×R²
    0.000383499999999981×0.000185512518086184×6371000²
    0.000383499999999981×0.000185512518086184×40589641000000     		ar = 3739616.41379158m²