Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61589 / 40687
↖ ↑ ↗
← N 56.196009°
W 10.840759°		 ← 169.89 m → N 56.196009°
W 10.838013°		 →
↑
169.91 m
↓
↑
169.91 m
↓
N 56.194481°
W 10.840759°		 ← 169.90 m →
28 867 m²		 N 56.194481°
W 10.838013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469890594482422 y=0.310420989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469890594482422 × 217)
    floor (0.469890594482422 × 131072)
    floor (61589.5)     		tx = 61589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310420989990234 × 217)
    floor (0.310420989990234 × 131072)
    floor (40687.5)     		ty = 40687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61589 / 40687 ti = "17/61589/40687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61589/40687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61589 ÷ 217
    61589 ÷ 131072     		x = 0.469886779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40687 ÷ 217
    40687 ÷ 131072     		y = 0.310417175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469886779785156 × 2 - 1) × π
    -0.0602264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18920694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310417175292969 × 2 - 1) × π
    0.379165649414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.19118401865878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18920694} λ = -0.18920694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19118401865878))-π/2
    2×atan(3.29097547785507)-π/2
    2×1.27580085496312-π/2
    2.55160170992624-1.57079632675     		φ = 0.98080538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18920694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.840759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98080538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.196009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61589 KachelY 40687 -0.18920694 0.98080538 -10.840759 56.196009
    Oben rechts KachelX + 1 61590 KachelY 40687 -0.18915901 0.98080538 -10.838013 56.196009
    Unten links KachelX 61589 KachelY + 1 40688 -0.18920694 0.98077871 -10.840759 56.194481
    Unten rechts KachelX + 1 61590 KachelY + 1 40688 -0.18915901 0.98077871 -10.838013 56.194481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98080538-0.98077871) × R
    2.66699999998954e-05 × 6371000     		dl = 169.914569999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98080538-0.98077871) × R
    2.66699999998954e-05 × 6371000     		dr = 169.914569999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18920694--0.18915901) × cos(0.98080538) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556353500213587 × 6371000     		do = 169.889234222832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18920694--0.18915901) × cos(0.98077871) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556375661337964 × 6371000     		du = 169.896001388759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98080538)-sin(0.98077871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556353500213587-0.556375661337964)×R²
    abs(-0.18915901--0.18920694)×2.21611243768072e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21611243768072e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21611243768072e-05×40589641000000     		ar = 28867.2311022587m²