Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61587 / 33879
↖ ↑ ↗
← N 65.267051°
W 10.846253°		 ← 127.79 m → N 65.267051°
W 10.843506°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
N 65.265901°
W 10.846253°		 ← 127.79 m →
16 332 m²		 N 65.265901°
W 10.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469875335693359 y=0.258480072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469875335693359 × 217)
    floor (0.469875335693359 × 131072)
    floor (61587.5)     		tx = 61587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258480072021484 × 217)
    floor (0.258480072021484 × 131072)
    floor (33879.5)     		ty = 33879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61587 / 33879 ti = "17/61587/33879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61587/33879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61587 ÷ 217
    61587 ÷ 131072     		x = 0.469871520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33879 ÷ 217
    33879 ÷ 131072     		y = 0.258476257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469871520996094 × 2 - 1) × π
    -0.0602569580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18930282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258476257324219 × 2 - 1) × π
    0.483047485351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.51753843127212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18930282} λ = -0.18930282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51753843127212))-π/2
    2×atan(4.56098418951499)-π/2
    2×1.35496062805391-π/2
    2.70992125610781-1.57079632675     		φ = 1.13912493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18930282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.846253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13912493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.267051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61587 KachelY 33879 -0.18930282 1.13912493 -10.846253 65.267051
    Oben rechts KachelX + 1 61588 KachelY 33879 -0.18925488 1.13912493 -10.843506 65.267051
    Unten links KachelX 61587 KachelY + 1 33880 -0.18930282 1.13910487 -10.846253 65.265901
    Unten rechts KachelX + 1 61588 KachelY + 1 33880 -0.18925488 1.13910487 -10.843506 65.265901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13912493-1.13910487) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13912493-1.13910487) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18930282--0.18925488) × cos(1.13912493) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.418389461884363 × 6371000     		do = 127.786911004298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18930282--0.18925488) × cos(1.13910487) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.418407681650722 × 6371000     		du = 127.79247578992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13912493)-sin(1.13910487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418389461884363-0.418407681650722)×R²
    abs(-0.18925488--0.18930282)×1.82197663584627e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82197663584627e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82197663584627e-05×40589641000000     		ar = 16331.8116214161m²