Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61586 / 34802
↖ ↑ ↗
← N 64.184857°
W 10.848999°		 ← 132.98 m → N 64.184857°
W 10.846253°		 →
↑
133.03 m
↓
↑
133.03 m
↓
N 64.183660°
W 10.848999°		 ← 132.98 m →
17 690 m²		 N 64.183660°
W 10.846253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469867706298828 y=0.265522003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469867706298828 × 217)
    floor (0.469867706298828 × 131072)
    floor (61586.5)     		tx = 61586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265522003173828 × 217)
    floor (0.265522003173828 × 131072)
    floor (34802.5)     		ty = 34802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61586 / 34802 ti = "17/61586/34802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61586/34802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61586 ÷ 217
    61586 ÷ 131072     		x = 0.469863891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34802 ÷ 217
    34802 ÷ 131072     		y = 0.265518188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469863891601562 × 2 - 1) × π
    -0.060272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18935075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265518188476562 × 2 - 1) × π
    0.468963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47329267292281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18935075} λ = -0.18935075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47329267292281))-π/2
    2×atan(4.36357935228495)-π/2
    2×1.34551670285542-π/2
    2.69103340571084-1.57079632675     		φ = 1.12023708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18935075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.848999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12023708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.184857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61586 KachelY 34802 -0.18935075 1.12023708 -10.848999 64.184857
    Oben rechts KachelX + 1 61587 KachelY 34802 -0.18930282 1.12023708 -10.846253 64.184857
    Unten links KachelX 61586 KachelY + 1 34803 -0.18935075 1.12021620 -10.848999 64.183660
    Unten rechts KachelX + 1 61587 KachelY + 1 34803 -0.18930282 1.12021620 -10.846253 64.183660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12023708-1.12021620) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dl = 133.026480000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12023708-1.12021620) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dr = 133.026480000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18935075--0.18930282) × cos(1.12023708) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.435469038221694 × 6371000     		do = 132.975709513529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18935075--0.18930282) × cos(1.12021620) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.435487834380199 × 6371000     		du = 132.981449146646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12023708)-sin(1.12021620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435469038221694-0.435487834380199)×R²
    abs(-0.18930282--0.18935075)×1.879615850503e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.879615850503e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.879615850503e-05×40589641000000     		ar = 17689.6723242459m²