Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61583 / 34509
↖ ↑ ↗
← N 64.533091°
W 10.857239°		 ← 131.30 m → N 64.533091°
W 10.854492°		 →
↑
131.31 m
↓
↑
131.31 m
↓
N 64.531910°
W 10.857239°		 ← 131.31 m →
17 241 m²		 N 64.531910°
W 10.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469844818115234 y=0.263286590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469844818115234 × 217)
    floor (0.469844818115234 × 131072)
    floor (61583.5)     		tx = 61583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263286590576172 × 217)
    floor (0.263286590576172 × 131072)
    floor (34509.5)     		ty = 34509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61583 / 34509 ti = "17/61583/34509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61583/34509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61583 ÷ 217
    61583 ÷ 131072     		x = 0.469841003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34509 ÷ 217
    34509 ÷ 131072     		y = 0.263282775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469841003417969 × 2 - 1) × π
    -0.0603179931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18949456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263282775878906 × 2 - 1) × π
    0.473434448242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.48733818451148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18949456} λ = -0.18949456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48733818451148))-π/2
    2×atan(4.42530049448087)-π/2
    2×1.3485556244097-π/2
    2.6971112488194-1.57079632675     		φ = 1.12631492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18949456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.857239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12631492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.533091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61583 KachelY 34509 -0.18949456 1.12631492 -10.857239 64.533091
    Oben rechts KachelX + 1 61584 KachelY 34509 -0.18944663 1.12631492 -10.854492 64.533091
    Unten links KachelX 61583 KachelY + 1 34510 -0.18949456 1.12629431 -10.857239 64.531910
    Unten rechts KachelX + 1 61584 KachelY + 1 34510 -0.18944663 1.12629431 -10.854492 64.531910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12631492-1.12629431) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dl = 131.30630999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12631492-1.12629431) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dr = 131.30630999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18949456--0.18944663) × cos(1.12631492) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429989734680526 × 6371000     		do = 131.302538261211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18949456--0.18944663) × cos(1.12629431) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430008341993335 × 6371000     		du = 131.308220228023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12631492)-sin(1.12629431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429989734680526-0.430008341993335)×R²
    abs(-0.18944663--0.18949456)×1.86073128094488e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86073128094488e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86073128094488e-05×40589641000000     		ar = 17241.2248322537m²