Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61582 / 34698
↖ ↑ ↗
← N 64.308967°
W 10.859985°		 ← 132.41 m → N 64.308967°
W 10.857239°		 →
↑
132.45 m
↓
↑
132.45 m
↓
N 64.307776°
W 10.859985°		 ← 132.41 m →
17 538 m²		 N 64.307776°
W 10.857239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469837188720703 y=0.264728546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469837188720703 × 217)
    floor (0.469837188720703 × 131072)
    floor (61582.5)     		tx = 61582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264728546142578 × 217)
    floor (0.264728546142578 × 131072)
    floor (34698.5)     		ty = 34698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61582 / 34698 ti = "17/61582/34698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61582/34698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61582 ÷ 217
    61582 ÷ 131072     		x = 0.469833374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34698 ÷ 217
    34698 ÷ 131072     		y = 0.264724731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469833374023438 × 2 - 1) × π
    -0.060333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18954250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264724731445312 × 2 - 1) × π
    0.470550537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47827811048329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18954250} λ = -0.18954250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47827811048329))-π/2
    2×atan(4.38538802239711)-π/2
    2×1.34659977168255-π/2
    2.69319954336511-1.57079632675     		φ = 1.12240322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18954250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.859985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12240322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.308967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61582 KachelY 34698 -0.18954250 1.12240322 -10.859985 64.308967
    Oben rechts KachelX + 1 61583 KachelY 34698 -0.18949456 1.12240322 -10.857239 64.308967
    Unten links KachelX 61582 KachelY + 1 34699 -0.18954250 1.12238243 -10.859985 64.307776
    Unten rechts KachelX + 1 61583 KachelY + 1 34699 -0.18949456 1.12238243 -10.857239 64.307776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12240322-1.12238243) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dl = 132.453089999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12240322-1.12238243) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dr = 132.453089999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18954250--0.18949456) × cos(1.12240322) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433518050840202 × 6371000     		do = 132.407571481216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18954250--0.18949456) × cos(1.12238243) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433536785548623 × 6371000     		du = 132.413293543399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12240322)-sin(1.12238243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433518050840202-0.433536785548623)×R²
    abs(-0.18949456--0.18954250)×1.87347084212308e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87347084212308e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87347084212308e-05×40589641000000     		ar = 17538.1709352508m²