Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61578 / 76212
↖ ↑ ↗
← S 28.120439°
W 10.870972°		 ← 269.37 m → S 28.120439°
W 10.868225°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
S 28.122861°
W 10.870972°		 ← 269.37 m →
72 559 m²		 S 28.122861°
W 10.868225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469806671142578 y=0.581455230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469806671142578 × 217)
    floor (0.469806671142578 × 131072)
    floor (61578.5)     		tx = 61578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581455230712891 × 217)
    floor (0.581455230712891 × 131072)
    floor (76212.5)     		ty = 76212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61578 / 76212 ti = "17/61578/76212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61578/76212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61578 ÷ 217
    61578 ÷ 131072     		x = 0.469802856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76212 ÷ 217
    76212 ÷ 131072     		y = 0.581451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469802856445312 × 2 - 1) × π
    -0.060394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18973425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16290283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.511774340343719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18973425} λ = -0.18973425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511774340343719))-π/2
    2×atan(0.599431039986936)-π/2
    2×0.540001042306346-π/2
    1.08000208461269-1.57079632675     		φ = -0.49079424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18973425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.870972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49079424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.120439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61578 KachelY 76212 -0.18973425 -0.49079424 -10.870972 -28.120439
    Oben rechts KachelX + 1 61579 KachelY 76212 -0.18968631 -0.49079424 -10.868225 -28.120439
    Unten links KachelX 61578 KachelY + 1 76213 -0.18973425 -0.49083652 -10.870972 -28.122861
    Unten rechts KachelX + 1 61579 KachelY + 1 76213 -0.18968631 -0.49083652 -10.868225 -28.122861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49079424--0.49083652) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dl = 269.365880000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49079424--0.49083652) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dr = 269.365880000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18973425--0.18968631) × cos(-0.49079424) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881958790448652 × 6371000     		do = 269.372916222264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18973425--0.18968631) × cos(-0.49083652) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881938861974942 × 6371000     		du = 269.366829553434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49079424)-sin(-0.49083652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881958790448652-0.881938861974942)×R²
    abs(-0.18968631--0.18973425)×1.99284737104621e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99284737104621e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99284737104621e-05×40589641000000     		ar = 72559.052866794m²