Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61577 / 76214
↖ ↑ ↗
← S 28.125283°
W 10.873719°		 ← 269.36 m → S 28.125283°
W 10.870972°		 →
↑
269.30 m
↓
↑
269.30 m
↓
S 28.127705°
W 10.873719°		 ← 269.35 m →
72 539 m²		 S 28.127705°
W 10.870972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469799041748047 y=0.581470489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469799041748047 × 217)
    floor (0.469799041748047 × 131072)
    floor (61577.5)     		tx = 61577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581470489501953 × 217)
    floor (0.581470489501953 × 131072)
    floor (76214.5)     		ty = 76214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61577 / 76214 ti = "17/61577/76214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61577/76214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61577 ÷ 217
    61577 ÷ 131072     		x = 0.469795227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76214 ÷ 217
    76214 ÷ 131072     		y = 0.581466674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469795227050781 × 2 - 1) × π
    -0.0604095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18978219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581466674804688 × 2 - 1) × π
    -0.162933349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.51187021414296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18978219} λ = -0.18978219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.51187021414296))-π/2
    2×atan(0.599373573010583)-π/2
    2×0.539958764891659-π/2
    1.07991752978332-1.57079632675     		φ = -0.49087880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18978219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.873719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49087880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.125283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61577 KachelY 76214 -0.18978219 -0.49087880 -10.873719 -28.125283
    Oben rechts KachelX + 1 61578 KachelY 76214 -0.18973425 -0.49087880 -10.870972 -28.125283
    Unten links KachelX 61577 KachelY + 1 76215 -0.18978219 -0.49092107 -10.873719 -28.127705
    Unten rechts KachelX + 1 61578 KachelY + 1 76215 -0.18973425 -0.49092107 -10.870972 -28.127705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49087880--0.49092107) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dl = 269.30217000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49087880--0.49092107) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dr = 269.30217000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18978219--0.18973425) × cos(-0.49087880) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881918931924679 × 6371000     		do = 269.360742403084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18978219--0.18973425) × cos(-0.49092107) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881899005012283 × 6371000     		du = 269.354656211119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49087880)-sin(-0.49092107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881918931924679-0.881899005012283)×R²
    abs(-0.18973425--0.18978219)×1.9926912396051e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9926912396051e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9926912396051e-05×40589641000000     		ar = 72538.6129405023m²