Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61577 / 34551
↖ ↑ ↗
← N 64.483445°
W 10.873719°		 ← 131.57 m → N 64.483445°
W 10.870972°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
N 64.482261°
W 10.873719°		 ← 131.57 m →
17 318 m²		 N 64.482261°
W 10.870972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469799041748047 y=0.263607025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469799041748047 × 217)
    floor (0.469799041748047 × 131072)
    floor (61577.5)     		tx = 61577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263607025146484 × 217)
    floor (0.263607025146484 × 131072)
    floor (34551.5)     		ty = 34551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61577 / 34551 ti = "17/61577/34551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61577/34551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61577 ÷ 217
    61577 ÷ 131072     		x = 0.469795227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34551 ÷ 217
    34551 ÷ 131072     		y = 0.263603210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469795227050781 × 2 - 1) × π
    -0.0604095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18978219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263603210449219 × 2 - 1) × π
    0.472793579101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.48532483472744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18978219} λ = -0.18978219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48532483472744))-π/2
    2×atan(4.41639977981859)-π/2
    2×1.34812237094847-π/2
    2.69624474189693-1.57079632675     		φ = 1.12544842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18978219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.873719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12544842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.483445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61577 KachelY 34551 -0.18978219 1.12544842 -10.873719 64.483445
    Oben rechts KachelX + 1 61578 KachelY 34551 -0.18973425 1.12544842 -10.870972 64.483445
    Unten links KachelX 61577 KachelY + 1 34552 -0.18978219 1.12542776 -10.873719 64.482261
    Unten rechts KachelX + 1 61578 KachelY + 1 34552 -0.18973425 1.12542776 -10.870972 64.482261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12544842-1.12542776) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dl = 131.624859999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12544842-1.12542776) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dr = 131.624859999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18978219--0.18973425) × cos(1.12544842) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430771878627086 × 6371000     		do = 131.568819800858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18978219--0.18973425) × cos(1.12542776) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430790523376344 × 6371000     		du = 131.574514387197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12544842)-sin(1.12542776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430771878627086-0.430790523376344)×R²
    abs(-0.18973425--0.18978219)×1.86447492572239e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86447492572239e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86447492572239e-05×40589641000000     		ar = 17318.1022617127m²