Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61576 / 34550
↖ ↑ ↗
← N 64.484627°
W 10.876465°		 ← 131.54 m → N 64.484627°
W 10.873719°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 64.483445°
W 10.876465°		 ← 131.54 m →
17 297 m²		 N 64.483445°
W 10.873719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469791412353516 y=0.263599395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469791412353516 × 217)
    floor (0.469791412353516 × 131072)
    floor (61576.5)     		tx = 61576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263599395751953 × 217)
    floor (0.263599395751953 × 131072)
    floor (34550.5)     		ty = 34550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61576 / 34550 ti = "17/61576/34550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61576/34550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61576 ÷ 217
    61576 ÷ 131072     		x = 0.46978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34550 ÷ 217
    34550 ÷ 131072     		y = 0.263595581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.0604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18983012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263595581054688 × 2 - 1) × π
    0.472808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48537277162706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18983012} λ = -0.18983012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48537277162706))-π/2
    2×atan(4.41661149340593)-π/2
    2×1.34813269565939-π/2
    2.69626539131879-1.57079632675     		φ = 1.12546906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18983012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.876465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12546906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.484627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61576 KachelY 34550 -0.18983012 1.12546906 -10.876465 64.484627
    Oben rechts KachelX + 1 61577 KachelY 34550 -0.18978219 1.12546906 -10.873719 64.484627
    Unten links KachelX 61576 KachelY + 1 34551 -0.18983012 1.12544842 -10.876465 64.483445
    Unten rechts KachelX + 1 61577 KachelY + 1 34551 -0.18978219 1.12544842 -10.873719 64.483445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12546906-1.12544842) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12546906-1.12544842) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18983012--0.18978219) × cos(1.12546906) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430753251743355 × 6371000     		do = 131.535687381456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18983012--0.18978219) × cos(1.12544842) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430771878627086 × 6371000     		du = 131.541375324485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12546906)-sin(1.12544842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430753251743355-0.430771878627086)×R²
    abs(-0.18978219--0.18983012)×1.86268837312209e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86268837312209e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86268837312209e-05×40589641000000     		ar = 17296.9801349145m²