Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61572 / 34564
↖ ↑ ↗
← N 64.468059°
W 10.887451°		 ← 131.64 m → N 64.468059°
W 10.884704°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
N 64.466875°
W 10.887451°		 ← 131.65 m →
17 328 m²		 N 64.466875°
W 10.884704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469760894775391 y=0.263706207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469760894775391 × 217)
    floor (0.469760894775391 × 131072)
    floor (61572.5)     		tx = 61572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263706207275391 × 217)
    floor (0.263706207275391 × 131072)
    floor (34564.5)     		ty = 34564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61572 / 34564 ti = "17/61572/34564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61572/34564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61572 ÷ 217
    61572 ÷ 131072     		x = 0.469757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34564 ÷ 217
    34564 ÷ 131072     		y = 0.263702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.06048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19002187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263702392578125 × 2 - 1) × π
    0.47259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48470165503238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19002187} λ = -0.19002187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48470165503238))-π/2
    2×atan(4.41364842653333)-π/2
    2×1.34798810905413-π/2
    2.69597621810826-1.57079632675     		φ = 1.12517989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19002187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.887451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12517989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.468059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61572 KachelY 34564 -0.19002187 1.12517989 -10.887451 64.468059
    Oben rechts KachelX + 1 61573 KachelY 34564 -0.18997393 1.12517989 -10.884704 64.468059
    Unten links KachelX 61572 KachelY + 1 34565 -0.19002187 1.12515923 -10.887451 64.466875
    Unten rechts KachelX + 1 61573 KachelY + 1 34565 -0.18997393 1.12515923 -10.884704 64.466875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12517989-1.12515923) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dl = 131.624860000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12517989-1.12515923) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dr = 131.624860000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19002187--0.18997393) × cos(1.12517989) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431014200905514 × 6371000     		do = 131.642831262065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19002187--0.18997393) × cos(1.12515923) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431032843264199 × 6371000     		du = 131.648525118262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12517989)-sin(1.12515923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431014200905514-0.431032843264199)×R²
    abs(-0.18997393--0.19002187)×1.86423586844842e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86423586844842e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86423586844842e-05×40589641000000     		ar = 17327.8439620498m²