Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61570 / 84354
↖ ↑ ↗
← S 45.832627°
W 10.892944°		 ← 212.76 m → S 45.832627°
W 10.890198°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
S 45.834540°
W 10.892944°		 ← 212.76 m →
45 273 m²		 S 45.834540°
W 10.890198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469745635986328 y=0.643573760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469745635986328 × 217)
    floor (0.469745635986328 × 131072)
    floor (61570.5)     		tx = 61570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643573760986328 × 217)
    floor (0.643573760986328 × 131072)
    floor (84354.5)     		ty = 84354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61570 / 84354 ti = "17/61570/84354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61570/84354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61570 ÷ 217
    61570 ÷ 131072     		x = 0.469741821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84354 ÷ 217
    84354 ÷ 131072     		y = 0.643569946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469741821289062 × 2 - 1) × π
    -0.060516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19011774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643569946289062 × 2 - 1) × π
    -0.287139892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.902076577050217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19011774} λ = -0.19011774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902076577050217))-π/2
    2×atan(0.405726262508608)-π/2
    2×0.385433042308841-π/2
    0.770866084617682-1.57079632675     		φ = -0.79993024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19011774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.892944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79993024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.832627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61570 KachelY 84354 -0.19011774 -0.79993024 -10.892944 -45.832627
    Oben rechts KachelX + 1 61571 KachelY 84354 -0.19006981 -0.79993024 -10.890198 -45.832627
    Unten links KachelX 61570 KachelY + 1 84355 -0.19011774 -0.79996364 -10.892944 -45.834540
    Unten rechts KachelX + 1 61571 KachelY + 1 84355 -0.19006981 -0.79996364 -10.890198 -45.834540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79993024--0.79996364) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79993024--0.79996364) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19011774--0.19006981) × cos(-0.79993024) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.696756750412779 × 6371000     		do = 212.763055722257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19011774--0.19006981) × cos(-0.79996364) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.696732791954084 × 6371000     		du = 212.755739718674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79993024)-sin(-0.79996364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696756750412779-0.696732791954084)×R²
    abs(-0.19006981--0.19011774)×2.39584586948505e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39584586948505e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39584586948505e-05×40589641000000     		ar = 45273.3701081582m²