Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6157 / 10044
↖ ↑ ↗
← S 37.649034°
W 44.714356°		 ← 1 934.51 m → S 37.649034°
W 44.692383°		 →
↑
1 934.30 m
↓
↑
1 934.30 m
↓
S 37.666429°
W 44.714356°		 ← 1 934.05 m →
3 741 479 m²		 S 37.666429°
W 44.692383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375823974609375 y=0.613067626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375823974609375 × 214)
    floor (0.375823974609375 × 16384)
    floor (6157.5)     		tx = 6157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613067626953125 × 214)
    floor (0.613067626953125 × 16384)
    floor (10044.5)     		ty = 10044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6157 / 10044 ti = "14/6157/10044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6157/10044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6157 ÷ 214
    6157 ÷ 16384     		x = 0.37579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10044 ÷ 214
    10044 ÷ 16384     		y = 0.613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37579345703125 × 2 - 1) × π
    -0.2484130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78041273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.22607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.710233104770752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78041273} λ = -0.78041273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.710233104770752))-π/2
    2×atan(0.491529606209427)-π/2
    2×0.45684836146953-π/2
    0.91369672293906-1.57079632675     		φ = -0.65709960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78041273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.714356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65709960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.649034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6157 KachelY 10044 -0.78041273 -0.65709960 -44.714356 -37.649034
    Oben rechts KachelX + 1 6158 KachelY 10044 -0.78002923 -0.65709960 -44.692383 -37.649034
    Unten links KachelX 6157 KachelY + 1 10045 -0.78041273 -0.65740321 -44.714356 -37.666429
    Unten rechts KachelX + 1 6158 KachelY + 1 10045 -0.78002923 -0.65740321 -44.692383 -37.666429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65709960--0.65740321) × R
    0.00030361000000001 × 6371000     		dl = 1934.29931000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65709960--0.65740321) × R
    0.00030361000000001 × 6371000     		dr = 1934.29931000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78041273--0.78002923) × cos(-0.65709960) × R
    0.000383499999999981 × 0.791767190290122 × 6371000     		do = 1934.50775304117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78041273--0.78002923) × cos(-0.65740321) × R
    0.000383499999999981 × 0.791581701834982 × 6371000     		du = 1934.05455308673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65709960)-sin(-0.65740321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791767190290122-0.791581701834982)×R²
    abs(-0.78002923--0.78041273)×0.000185488455140881×R²
    0.000383499999999981×0.000185488455140881×6371000²
    0.000383499999999981×0.000185488455140881×40589641000000     		ar = 3741478.72845822m²