Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61567 / 34179
↖ ↑ ↗
← N 64.920049°
W 10.901184°		 ← 129.44 m → N 64.920049°
W 10.898438°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 64.918885°
W 10.901184°		 ← 129.44 m →
16 757 m²		 N 64.918885°
W 10.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469722747802734 y=0.260768890380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469722747802734 × 217)
    floor (0.469722747802734 × 131072)
    floor (61567.5)     		tx = 61567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260768890380859 × 217)
    floor (0.260768890380859 × 131072)
    floor (34179.5)     		ty = 34179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61567 / 34179 ti = "17/61567/34179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61567/34179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61567 ÷ 217
    61567 ÷ 131072     		x = 0.469718933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34179 ÷ 217
    34179 ÷ 131072     		y = 0.260765075683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469718933105469 × 2 - 1) × π
    -0.0605621337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19026155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260765075683594 × 2 - 1) × π
    0.478469848632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.5031573613861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19026155} λ = -0.19026155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5031573613861))-π/2
    2×atan(4.49586174470679)-π/2
    2×1.35193246868917-π/2
    2.70386493737834-1.57079632675     		φ = 1.13306861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19026155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.901184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13306861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.920049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61567 KachelY 34179 -0.19026155 1.13306861 -10.901184 64.920049
    Oben rechts KachelX + 1 61568 KachelY 34179 -0.19021362 1.13306861 -10.898438 64.920049
    Unten links KachelX 61567 KachelY + 1 34180 -0.19026155 1.13304829 -10.901184 64.918885
    Unten rechts KachelX + 1 61568 KachelY + 1 34180 -0.19021362 1.13304829 -10.898438 64.918885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13306861-1.13304829) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13306861-1.13304829) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19026155--0.19021362) × cos(1.13306861) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423882515206065 × 6371000     		do = 129.437625324834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19026155--0.19021362) × cos(1.13304829) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423900919291686 × 6371000     		du = 129.44324523378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13306861)-sin(1.13304829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423882515206065-0.423900919291686)×R²
    abs(-0.19021362--0.19026155)×1.84040856206491e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84040856206491e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84040856206491e-05×40589641000000     		ar = 16757.1930681496m²