Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61565 / 40839
↖ ↑ ↗
← N 55.963038°
W 10.906677°		 ← 170.96 m → N 55.963038°
W 10.903931°		 →
↑
170.93 m
↓
↑
170.93 m
↓
N 55.961501°
W 10.906677°		 ← 170.96 m →
29 223 m²		 N 55.961501°
W 10.903931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469707489013672 y=0.311580657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469707489013672 × 217)
    floor (0.469707489013672 × 131072)
    floor (61565.5)     		tx = 61565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311580657958984 × 217)
    floor (0.311580657958984 × 131072)
    floor (40839.5)     		ty = 40839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61565 / 40839 ti = "17/61565/40839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61565/40839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61565 ÷ 217
    61565 ÷ 131072     		x = 0.469703674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40839 ÷ 217
    40839 ÷ 131072     		y = 0.311576843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469703674316406 × 2 - 1) × π
    -0.0605926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19035743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311576843261719 × 2 - 1) × π
    0.376846313476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.18389760991653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19035743} λ = -0.19035743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18389760991653))-π/2
    2×atan(3.26708323539154)-π/2
    2×1.27376780258643-π/2
    2.54753560517285-1.57079632675     		φ = 0.97673928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19035743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.906677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97673928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.963038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61565 KachelY 40839 -0.19035743 0.97673928 -10.906677 55.963038
    Oben rechts KachelX + 1 61566 KachelY 40839 -0.19030949 0.97673928 -10.903931 55.963038
    Unten links KachelX 61565 KachelY + 1 40840 -0.19035743 0.97671245 -10.906677 55.961501
    Unten rechts KachelX + 1 61566 KachelY + 1 40840 -0.19030949 0.97671245 -10.903931 55.961501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97673928-0.97671245) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dl = 170.933930000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97673928-0.97671245) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dr = 170.933930000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19035743--0.19030949) × cos(0.97673928) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559727600142014 × 6371000     		do = 170.955216471786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19035743--0.19030949) × cos(0.97671245) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55974983333545 × 6371000     		du = 170.962007061343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97673928)-sin(0.97671245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559727600142014-0.55974983333545)×R²
    abs(-0.19030949--0.19035743)×2.223319343575e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.223319343575e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.223319343575e-05×40589641000000     		ar = 29222.6273783091m²