Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61562 / 40852
↖ ↑ ↗
← N 55.943048°
W 10.914917°		 ← 171.04 m → N 55.943048°
W 10.912170°		 →
↑
171.06 m
↓
↑
171.06 m
↓
N 55.941510°
W 10.914917°		 ← 171.05 m →
29 260 m²		 N 55.941510°
W 10.912170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469684600830078 y=0.311679840087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469684600830078 × 217)
    floor (0.469684600830078 × 131072)
    floor (61562.5)     		tx = 61562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311679840087891 × 217)
    floor (0.311679840087891 × 131072)
    floor (40852.5)     		ty = 40852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61562 / 40852 ti = "17/61562/40852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61562/40852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61562 ÷ 217
    61562 ÷ 131072     		x = 0.469680786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40852 ÷ 217
    40852 ÷ 131072     		y = 0.311676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469680786132812 × 2 - 1) × π
    -0.060638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19050124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311676025390625 × 2 - 1) × π
    0.37664794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18327443022147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19050124} λ = -0.19050124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18327443022147))-π/2
    2×atan(3.26504788971609)-π/2
    2×1.27359335211146-π/2
    2.54718670422292-1.57079632675     		φ = 0.97639038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19050124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.914917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97639038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.943048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61562 KachelY 40852 -0.19050124 0.97639038 -10.914917 55.943048
    Oben rechts KachelX + 1 61563 KachelY 40852 -0.19045330 0.97639038 -10.912170 55.943048
    Unten links KachelX 61562 KachelY + 1 40853 -0.19050124 0.97636353 -10.914917 55.941510
    Unten rechts KachelX + 1 61563 KachelY + 1 40853 -0.19045330 0.97636353 -10.912170 55.941510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97639038-0.97636353) × R
    2.68500000000227e-05 × 6371000     		dl = 171.061350000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97639038-0.97636353) × R
    2.68500000000227e-05 × 6371000     		dr = 171.061350000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19050124--0.19045330) × cos(0.97639038) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560016691356097 × 6371000     		do = 171.043512369774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19050124--0.19045330) × cos(0.97636353) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560038935877799 × 6371000     		du = 171.050306419276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97639038)-sin(0.97636353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560016691356097-0.560038935877799)×R²
    abs(-0.19045330--0.19050124)×2.22445217016309e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22445217016309e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22445217016309e-05×40589641000000     		ar = 29259.5152360418m²