Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61562 / 40847
↖ ↑ ↗
← N 55.950738°
W 10.914917°		 ← 171.01 m → N 55.950738°
W 10.912170°		 →
↑
171 m
↓
↑
171 m
↓
N 55.949200°
W 10.914917°		 ← 171.02 m →
29 243 m²		 N 55.949200°
W 10.912170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469684600830078 y=0.311641693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469684600830078 × 217)
    floor (0.469684600830078 × 131072)
    floor (61562.5)     		tx = 61562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311641693115234 × 217)
    floor (0.311641693115234 × 131072)
    floor (40847.5)     		ty = 40847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61562 / 40847 ti = "17/61562/40847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61562/40847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61562 ÷ 217
    61562 ÷ 131072     		x = 0.469680786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40847 ÷ 217
    40847 ÷ 131072     		y = 0.311637878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469680786132812 × 2 - 1) × π
    -0.060638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19050124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311637878417969 × 2 - 1) × π
    0.376724243164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.18351411471957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19050124} λ = -0.19050124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18351411471957))-π/2
    2×atan(3.26583056487461)-π/2
    2×1.27366045910824-π/2
    2.54732091821647-1.57079632675     		φ = 0.97652459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19050124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.914917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97652459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.950738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61562 KachelY 40847 -0.19050124 0.97652459 -10.914917 55.950738
    Oben rechts KachelX + 1 61563 KachelY 40847 -0.19045330 0.97652459 -10.912170 55.950738
    Unten links KachelX 61562 KachelY + 1 40848 -0.19050124 0.97649775 -10.914917 55.949200
    Unten rechts KachelX + 1 61563 KachelY + 1 40848 -0.19045330 0.97649775 -10.912170 55.949200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97652459-0.97649775) × R
    2.68399999999724e-05 × 6371000     		dl = 170.997639999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97652459-0.97649775) × R
    2.68399999999724e-05 × 6371000     		dr = 170.997639999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19050124--0.19045330) × cos(0.97652459) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55990549583424 × 6371000     		do = 171.009550395226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19050124--0.19045330) × cos(0.97649775) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559927734088408 × 6371000     		du = 171.016342530462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97652459)-sin(0.97649775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55990549583424-0.559927734088408)×R²
    abs(-0.19045330--0.19050124)×2.22382541685828e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22382541685828e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22382541685828e-05×40589641000000     		ar = 29242.8102562794m²