Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61560 / 12520
↖ ↑ ↗
← N 73.664909°
E158.159180°		 ← 171.79 m → N 73.664909°
E158.164673°		 →
↑
171.83 m
↓
↑
171.83 m
↓
N 73.663364°
E158.159180°		 ← 171.80 m →
29 519 m²		 N 73.663364°
E158.164673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939338684082031 y=0.191047668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939338684082031 × 216)
    floor (0.939338684082031 × 65536)
    floor (61560.5)     		tx = 61560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191047668457031 × 216)
    floor (0.191047668457031 × 65536)
    floor (12520.5)     		ty = 12520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61560 / 12520 ti = "16/61560/12520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61560/12520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61560 ÷ 216
    61560 ÷ 65536     		x = 0.9393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12520 ÷ 216
    12520 ÷ 65536     		y = 0.1910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9393310546875 × 2 - 1) × π
    0.878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.76039843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1910400390625 × 2 - 1) × π
    0.617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94125268701379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76039843} λ = 2.76039843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94125268701379))-π/2
    2×atan(6.96747356981313)-π/2
    2×1.42824576781659-π/2
    2.85649153563317-1.57079632675     		φ = 1.28569521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76039843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28569521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.664909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61560 KachelY 12520 2.76039843 1.28569521 158.159180 73.664909
    Oben rechts KachelX + 1 61561 KachelY 12520 2.76049430 1.28569521 158.164673 73.664909
    Unten links KachelX 61560 KachelY + 1 12521 2.76039843 1.28566824 158.159180 73.663364
    Unten rechts KachelX + 1 61561 KachelY + 1 12521 2.76049430 1.28566824 158.164673 73.663364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28569521-1.28566824) × R
    2.69700000001816e-05 × 6371000     		dl = 171.825870001157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28569521-1.28566824) × R
    2.69700000001816e-05 × 6371000     		dr = 171.825870001157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76039843-2.76049430) × cos(1.28569521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.281254487768268 × 6371000     		do = 171.786801386469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76039843-2.76049430) × cos(1.28566824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.281280368973866 × 6371000     		du = 171.802609310321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28569521)-sin(1.28566824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281254487768268-0.281280368973866)×R²
    abs(2.76049430-2.76039843)×2.58812055972113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.58812055972113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.58812055972113e-05×40589641000000     		ar = 29518.7747098486m²