Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6156 / 7356
↖ ↑ ↗
← N 18.062312°
W 44.736328°		 ← 2 322.81 m → N 18.062312°
W 44.714356°		 →
↑
2 322.99 m
↓
↑
2 322.99 m
↓
N 18.041421°
W 44.736328°		 ← 2 323.09 m →
5 396 201 m²		 N 18.041421°
W 44.714356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375762939453125 y=0.449005126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375762939453125 × 214)
    floor (0.375762939453125 × 16384)
    floor (6156.5)     		tx = 6156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449005126953125 × 214)
    floor (0.449005126953125 × 16384)
    floor (7356.5)     		ty = 7356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6156 / 7356 ti = "14/6156/7356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6156/7356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6156 ÷ 214
    6156 ÷ 16384     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7356 ÷ 214
    7356 ÷ 16384     		y = 0.448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    0.10205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.320601984658936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320601984658936))-π/2
    2×atan(1.37795702369915)-π/2
    2×0.943021573512005-π/2
    1.88604314702401-1.57079632675     		φ = 0.31524682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31524682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.062312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6156 KachelY 7356 -0.78079622 0.31524682 -44.736328 18.062312
    Oben rechts KachelX + 1 6157 KachelY 7356 -0.78041273 0.31524682 -44.714356 18.062312
    Unten links KachelX 6156 KachelY + 1 7357 -0.78079622 0.31488220 -44.736328 18.041421
    Unten rechts KachelX + 1 6157 KachelY + 1 7357 -0.78041273 0.31488220 -44.714356 18.041421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31524682-0.31488220) × R
    0.000364619999999982 × 6371000     		dl = 2322.99401999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31524682-0.31488220) × R
    0.000364619999999982 × 6371000     		dr = 2322.99401999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78041273) × cos(0.31524682) × R
    0.000383490000000042 × 0.95071988105209 × 6371000     		do = 2322.81287453376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78041273) × cos(0.31488220) × R
    0.000383490000000042 × 0.950832868697255 × 6371000     		du = 2323.08892761951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31524682)-sin(0.31488220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95071988105209-0.950832868697255)×R²
    abs(-0.78041273--0.78079622)×0.000112987645164542×R²
    0.000383490000000042×0.000112987645164542×6371000²
    0.000383490000000042×0.000112987645164542×40589641000000     		ar = 5396201.1117393m²