Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61559 / 12521
↖ ↑ ↗
← N 73.663364°
E158.153686°		 ← 171.82 m → N 73.663364°
E158.159180°		 →
↑
171.83 m
↓
↑
171.83 m
↓
N 73.661819°
E158.153686°		 ← 171.84 m →
29 525 m²		 N 73.661819°
E158.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939323425292969 y=0.191062927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939323425292969 × 216)
    floor (0.939323425292969 × 65536)
    floor (61559.5)     		tx = 61559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191062927246094 × 216)
    floor (0.191062927246094 × 65536)
    floor (12521.5)     		ty = 12521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61559 / 12521 ti = "16/61559/12521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61559/12521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61559 ÷ 216
    61559 ÷ 65536     		x = 0.939315795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12521 ÷ 216
    12521 ÷ 65536     		y = 0.191055297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939315795898438 × 2 - 1) × π
    0.878631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76030255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191055297851562 × 2 - 1) × π
    0.617889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94115681321455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76030255} λ = 2.76030255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94115681321455))-π/2
    2×atan(6.96680560367162)-π/2
    2×1.42823228472815-π/2
    2.8564645694563-1.57079632675     		φ = 1.28566824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76030255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.153686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28566824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.663364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61559 KachelY 12521 2.76030255 1.28566824 158.153686 73.663364
    Oben rechts KachelX + 1 61560 KachelY 12521 2.76039843 1.28566824 158.159180 73.663364
    Unten links KachelX 61559 KachelY + 1 12522 2.76030255 1.28564127 158.153686 73.661819
    Unten rechts KachelX + 1 61560 KachelY + 1 12522 2.76039843 1.28564127 158.159180 73.661819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28566824-1.28564127) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dl = 171.825869999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28566824-1.28564127) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dr = 171.825869999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76030255-2.76039843) × cos(1.28566824) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.281280368973866 × 6371000     		do = 171.820529682519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76030255-2.76039843) × cos(1.28564127) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.281306249974865 × 6371000     		du = 171.836339130283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28566824)-sin(1.28564127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281280368973866-0.281306249974865)×R²
    abs(2.76039843-2.76030255)×2.58810009990396e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.58810009990396e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.58810009990396e-05×40589641000000     		ar = 29524.570234421m²