Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61554 / 12594
↖ ↑ ↗
← N 73.550191°
E158.126220°		 ← 172.98 m → N 73.550191°
E158.131714°		 →
↑
172.97 m
↓
↑
172.97 m
↓
N 73.548636°
E158.126220°		 ← 172.99 m →
29 922 m²		 N 73.548636°
E158.131714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939247131347656 y=0.192176818847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939247131347656 × 216)
    floor (0.939247131347656 × 65536)
    floor (61554.5)     		tx = 61554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192176818847656 × 216)
    floor (0.192176818847656 × 65536)
    floor (12594.5)     		ty = 12594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61554 / 12594 ti = "16/61554/12594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61554/12594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61554 ÷ 216
    61554 ÷ 65536     		x = 0.939239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12594 ÷ 216
    12594 ÷ 65536     		y = 0.192169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939239501953125 × 2 - 1) × π
    0.87847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.75982318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192169189453125 × 2 - 1) × π
    0.61566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93415802587003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.75982318} λ = 2.75982318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93415802587003))-π/2
    2×atan(6.91821664301834)-π/2
    2×1.42724466180087-π/2
    2.85448932360174-1.57079632675     		φ = 1.28369300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.75982318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.126220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28369300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.550191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61554 KachelY 12594 2.75982318 1.28369300 158.126220 73.550191
    Oben rechts KachelX + 1 61555 KachelY 12594 2.75991906 1.28369300 158.131714 73.550191
    Unten links KachelX 61554 KachelY + 1 12595 2.75982318 1.28366585 158.126220 73.548636
    Unten rechts KachelX + 1 61555 KachelY + 1 12595 2.75991906 1.28366585 158.131714 73.548636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28369300-1.28366585) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dl = 172.972649999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28369300-1.28366585) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dr = 172.972649999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.75982318-2.75991906) × cos(1.28369300) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.283175309957326 × 6371000     		do = 172.978057186778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.75982318-2.75991906) × cos(1.28366585) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.283201348553617 × 6371000     		du = 172.99396290186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28369300)-sin(1.28366585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283175309957326-0.283201348553617)×R²
    abs(2.75991906-2.75982318)×2.60385962909115e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.60385962909115e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.60385962909115e-05×40589641000000     		ar = 29921.8485719315m²