Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61552 / 77040
↖ ↑ ↗
← S 30.107118°
W 10.942383°		 ← 264.22 m → S 30.107118°
W 10.939636°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
S 30.109494°
W 10.942383°		 ← 264.21 m →
69 791 m²		 S 30.109494°
W 10.939636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469608306884766 y=0.587772369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469608306884766 × 217)
    floor (0.469608306884766 × 131072)
    floor (61552.5)     		tx = 61552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587772369384766 × 217)
    floor (0.587772369384766 × 131072)
    floor (77040.5)     		ty = 77040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61552 / 77040 ti = "17/61552/77040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61552/77040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61552 ÷ 217
    61552 ÷ 131072     		x = 0.4696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77040 ÷ 217
    77040 ÷ 131072     		y = 0.5877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19098061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.551466093229126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19098061} λ = -0.19098061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551466093229126))-π/2
    2×atan(0.576104567923463)-π/2
    2×0.522663995696346-π/2
    1.04532799139269-1.57079632675     		φ = -0.52546834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19098061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52546834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.107118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61552 KachelY 77040 -0.19098061 -0.52546834 -10.942383 -30.107118
    Oben rechts KachelX + 1 61553 KachelY 77040 -0.19093267 -0.52546834 -10.939636 -30.107118
    Unten links KachelX 61552 KachelY + 1 77041 -0.19098061 -0.52550980 -10.942383 -30.109494
    Unten rechts KachelX + 1 61553 KachelY + 1 77041 -0.19093267 -0.52550980 -10.939636 -30.109494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52546834--0.52550980) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dl = 264.14166000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52546834--0.52550980) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dr = 264.14166000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19098061--0.19093267) × cos(-0.52546834) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86508910863182 × 6371000     		do = 264.220481169794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19098061--0.19093267) × cos(-0.52550980) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865068310797096 × 6371000     		du = 264.214128975733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52546834)-sin(-0.52550980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86508910863182-0.865068310797096)×R²
    abs(-0.19093267--0.19098061)×2.07978347234183e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07978347234183e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07978347234183e-05×40589641000000     		ar = 69790.7975727855m²