Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61550 / 33922
↖ ↑ ↗
← N 65.217591°
W 10.947876°		 ← 128.03 m → N 65.217591°
W 10.945129°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
N 65.216440°
W 10.947876°		 ← 128.03 m →
16 387 m²		 N 65.216440°
W 10.945129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469593048095703 y=0.258808135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469593048095703 × 217)
    floor (0.469593048095703 × 131072)
    floor (61550.5)     		tx = 61550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258808135986328 × 217)
    floor (0.258808135986328 × 131072)
    floor (33922.5)     		ty = 33922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61550 / 33922 ti = "17/61550/33922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61550/33922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61550 ÷ 217
    61550 ÷ 131072     		x = 0.469589233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33922 ÷ 217
    33922 ÷ 131072     		y = 0.258804321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469589233398438 × 2 - 1) × π
    -0.060821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19107648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258804321289062 × 2 - 1) × π
    0.482391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51547714458846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19107648} λ = -0.19107648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51547714458846))-π/2
    2×atan(4.55159237647574)-π/2
    2×1.35452901388562-π/2
    2.70905802777124-1.57079632675     		φ = 1.13826170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19107648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.947876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13826170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.217591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61550 KachelY 33922 -0.19107648 1.13826170 -10.947876 65.217591
    Oben rechts KachelX + 1 61551 KachelY 33922 -0.19102854 1.13826170 -10.945129 65.217591
    Unten links KachelX 61550 KachelY + 1 33923 -0.19107648 1.13824161 -10.947876 65.216440
    Unten rechts KachelX + 1 61551 KachelY + 1 33923 -0.19102854 1.13824161 -10.945129 65.216440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13826170-1.13824161) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13826170-1.13824161) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19107648--0.19102854) × cos(1.13826170) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419173349849449 × 6371000     		do = 128.026330566037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19107648--0.19102854) × cos(1.13824161) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419191589600799 × 6371000     		du = 128.031901455591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13826170)-sin(1.13824161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419173349849449-0.419191589600799)×R²
    abs(-0.19102854--0.19107648)×1.82397513507349e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82397513507349e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82397513507349e-05×40589641000000     		ar = 16386.8805776242m²