Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6155 / 7355
↖ ↑ ↗
← N 18.083201°
W 44.758301°		 ← 2 322.60 m → N 18.083201°
W 44.736328°		 →
↑
2 322.74 m
↓
↑
2 322.74 m
↓
N 18.062312°
W 44.758301°		 ← 2 322.87 m →
5 395 108 m²		 N 18.062312°
W 44.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375701904296875 y=0.448944091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375701904296875 × 214)
    floor (0.375701904296875 × 16384)
    floor (6155.5)     		tx = 6155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448944091796875 × 214)
    floor (0.448944091796875 × 16384)
    floor (7355.5)     		ty = 7355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6155 / 7355 ti = "14/6155/7355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6155/7355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6155 ÷ 214
    6155 ÷ 16384     		x = 0.37567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7355 ÷ 214
    7355 ÷ 16384     		y = 0.44891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.2486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78117972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    0.1021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.320985479855896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78117972} λ = -0.78117972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320985479855896))-π/2
    2×atan(1.37848556493939)-π/2
    2×0.943203860924486-π/2
    1.88640772184897-1.57079632675     		φ = 0.31561140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78117972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31561140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.083201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6155 KachelY 7355 -0.78117972 0.31561140 -44.758301 18.083201
    Oben rechts KachelX + 1 6156 KachelY 7355 -0.78079622 0.31561140 -44.736328 18.083201
    Unten links KachelX 6155 KachelY + 1 7356 -0.78117972 0.31524682 -44.758301 18.062312
    Unten rechts KachelX + 1 6156 KachelY + 1 7356 -0.78079622 0.31524682 -44.736328 18.062312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31561140-0.31524682) × R
    0.000364580000000003 × 6371000     		dl = 2322.73918000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31561140-0.31524682) × R
    0.000364580000000003 × 6371000     		dr = 2322.73918000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78117972--0.78079622) × cos(0.31561140) × R
    0.000383499999999981 × 0.950606779426773 × 6371000     		do = 2322.59710612756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78117972--0.78079622) × cos(0.31524682) × R
    0.000383499999999981 × 0.95071988105209 × 6371000     		du = 2322.87344489701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31561140)-sin(0.31524682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950606779426773-0.95071988105209)×R²
    abs(-0.78079622--0.78117972)×0.000113101625316969×R²
    0.000383499999999981×0.000113101625316969×6371000²
    0.000383499999999981×0.000113101625316969×40589641000000     		ar = 5395108.28895904m²