Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61548 / 33885
↖ ↑ ↗
← N 65.260155°
W 10.953369°		 ← 127.82 m → N 65.260155°
W 10.950623°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
N 65.259005°
W 10.953369°		 ← 127.83 m →
16 344 m²		 N 65.259005°
W 10.950623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469577789306641 y=0.258525848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469577789306641 × 217)
    floor (0.469577789306641 × 131072)
    floor (61548.5)     		tx = 61548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258525848388672 × 217)
    floor (0.258525848388672 × 131072)
    floor (33885.5)     		ty = 33885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61548 / 33885 ti = "17/61548/33885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61548/33885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61548 ÷ 217
    61548 ÷ 131072     		x = 0.469573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33885 ÷ 217
    33885 ÷ 131072     		y = 0.258522033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.06085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19117236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258522033691406 × 2 - 1) × π
    0.482955932617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.5172508098744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19117236} λ = -0.19117236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5172508098744))-π/2
    2×atan(4.55967254150548)-π/2
    2×1.35490045131319-π/2
    2.70980090262638-1.57079632675     		φ = 1.13900458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19117236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.953369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13900458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.260155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61548 KachelY 33885 -0.19117236 1.13900458 -10.953369 65.260155
    Oben rechts KachelX + 1 61549 KachelY 33885 -0.19112442 1.13900458 -10.950623 65.260155
    Unten links KachelX 61548 KachelY + 1 33886 -0.19117236 1.13898451 -10.953369 65.259005
    Unten rechts KachelX + 1 61549 KachelY + 1 33886 -0.19112442 1.13898451 -10.950623 65.259005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13900458-1.13898451) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13900458-1.13898451) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19117236--0.19112442) × cos(1.13900458) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.418498768874662 × 6371000     		do = 127.820296172697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19117236--0.19112442) × cos(1.13898451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.418516996712872 × 6371000     		du = 127.825863423671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13900458)-sin(1.13898451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418498768874662-0.418516996712872)×R²
    abs(-0.19112442--0.19117236)×1.82278382094836e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82278382094836e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82278382094836e-05×40589641000000     		ar = 16344.2220873514m²