Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61541 / 77013
↖ ↑ ↗
← S 30.042944°
W 10.972595°		 ← 264.34 m → S 30.042944°
W 10.969849°		 →
↑
264.40 m
↓
↑
264.40 m
↓
S 30.045322°
W 10.972595°		 ← 264.33 m →
69 889 m²		 S 30.045322°
W 10.969849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469524383544922 y=0.587566375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469524383544922 × 217)
    floor (0.469524383544922 × 131072)
    floor (61541.5)     		tx = 61541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587566375732422 × 217)
    floor (0.587566375732422 × 131072)
    floor (77013.5)     		ty = 77013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61541 / 77013 ti = "17/61541/77013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61541/77013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61541 ÷ 217
    61541 ÷ 131072     		x = 0.469520568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77013 ÷ 217
    77013 ÷ 131072     		y = 0.587562561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469520568847656 × 2 - 1) × π
    -0.0609588623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19150791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587562561035156 × 2 - 1) × π
    -0.175125122070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.550171796939384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19150791} λ = -0.19150791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550171796939384))-π/2
    2×atan(0.5768507006825)-π/2
    2×0.523224018168151-π/2
    1.0464480363363-1.57079632675     		φ = -0.52434829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19150791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.972595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52434829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.042944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61541 KachelY 77013 -0.19150791 -0.52434829 -10.972595 -30.042944
    Oben rechts KachelX + 1 61542 KachelY 77013 -0.19145998 -0.52434829 -10.969849 -30.042944
    Unten links KachelX 61541 KachelY + 1 77014 -0.19150791 -0.52438979 -10.972595 -30.045322
    Unten rechts KachelX + 1 61542 KachelY + 1 77014 -0.19145998 -0.52438979 -10.969849 -30.045322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52434829--0.52438979) × R
    4.14999999999166e-05 × 6371000     		dl = 264.396499999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52434829--0.52438979) × R
    4.14999999999166e-05 × 6371000     		dr = 264.396499999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19150791--0.19145998) × cos(-0.52434829) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.865650403364346 × 6371000     		do = 264.336764441664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19150791--0.19145998) × cos(-0.52438979) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.865629625687161 × 6371000     		du = 264.33041972798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52434829)-sin(-0.52438979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865650403364346-0.865629625687161)×R²
    abs(-0.19145998--0.19150791)×2.0777677184558e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.0777677184558e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.0777677184558e-05×40589641000000     		ar = 69888.8765895947m²