Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6154 / 7349
↖ ↑ ↗
← N 18.208480°
W 44.780273°		 ← 2 320.87 m → N 18.208480°
W 44.758301°		 →
↑
2 321.02 m
↓
↑
2 321.02 m
↓
N 18.187607°
W 44.780273°		 ← 2 321.15 m →
5 387 113 m²		 N 18.187607°
W 44.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375640869140625 y=0.448577880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375640869140625 × 214)
    floor (0.375640869140625 × 16384)
    floor (6154.5)     		tx = 6154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448577880859375 × 214)
    floor (0.448577880859375 × 16384)
    floor (7349.5)     		ty = 7349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6154 / 7349 ti = "14/6154/7349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6154/7349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6154 ÷ 214
    6154 ÷ 16384     		x = 0.3756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7349 ÷ 214
    7349 ÷ 16384     		y = 0.44854736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78156321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44854736328125 × 2 - 1) × π
    0.1029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.323286451037659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78156321} λ = -0.78156321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.323286451037659))-π/2
    2×atan(1.3816610724734)-π/2
    2×0.944297128995599-π/2
    1.8885942579912-1.57079632675     		φ = 0.31779793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78156321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31779793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.208480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6154 KachelY 7349 -0.78156321 0.31779793 -44.780273 18.208480
    Oben rechts KachelX + 1 6155 KachelY 7349 -0.78117972 0.31779793 -44.758301 18.208480
    Unten links KachelX 6154 KachelY + 1 7350 -0.78156321 0.31743362 -44.780273 18.187607
    Unten rechts KachelX + 1 6155 KachelY + 1 7350 -0.78117972 0.31743362 -44.758301 18.187607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31779793-0.31743362) × R
    0.000364309999999979 × 6371000     		dl = 2321.01900999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31779793-0.31743362) × R
    0.000364309999999979 × 6371000     		dr = 2321.01900999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78156321--0.78117972) × cos(0.31779793) × R
    0.000383489999999931 × 0.949925813635115 × 6371000     		do = 2320.87279727568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78156321--0.78117972) × cos(0.31743362) × R
    0.000383489999999931 × 0.950039588550197 × 6371000     		du = 2321.15077383094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31779793)-sin(0.31743362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949925813635115-0.950039588550197)×R²
    abs(-0.78117972--0.78156321)×0.000113774915081688×R²
    0.000383489999999931×0.000113774915081688×6371000²
    0.000383489999999931×0.000113774915081688×40589641000000     		ar = 5387112.53628503m²