Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6154 / 6319
↖ ↑ ↗
← S 69.395783°
E 90.439453°		 ← 1 719.61 m → S 69.395783°
E 90.483398°		 →
↑
1 719.02 m
↓
↑
1 719.02 m
↓
S 69.411243°
E 90.439453°		 ← 1 718.37 m →
2 954 986 m²		 S 69.411243°
E 90.483398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75128173828125 y=0.77142333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75128173828125 × 213)
    floor (0.75128173828125 × 8192)
    floor (6154.5)     		tx = 6154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77142333984375 × 213)
    floor (0.77142333984375 × 8192)
    floor (6319.5)     		ty = 6319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6154 / 6319 ti = "13/6154/6319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6154/6319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6154 ÷ 213
    6154 ÷ 8192     		x = 0.751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6319 ÷ 213
    6319 ÷ 8192     		y = 0.7713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    0.50244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57846623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70501964568616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57846623} λ = 1.57846623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70501964568616))-π/2
    2×atan(0.181768815167194)-π/2
    2×0.179805712459157-π/2
    0.359611424918314-1.57079632675     		φ = -1.21118490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57846623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21118490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.395783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6154 KachelY 6319 1.57846623 -1.21118490 90.439453 -69.395783
    Oben rechts KachelX + 1 6155 KachelY 6319 1.57923322 -1.21118490 90.483398 -69.395783
    Unten links KachelX 6154 KachelY + 1 6320 1.57846623 -1.21145472 90.439453 -69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 6155 KachelY + 1 6320 1.57923322 -1.21145472 90.483398 -69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21118490--1.21145472) × R
    0.000269820000000198 × 6371000     		dl = 1719.02322000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21118490--1.21145472) × R
    0.000269820000000198 × 6371000     		dr = 1719.02322000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57846623-1.57923322) × cos(-1.21118490) × R
    0.000766990000000023 × 0.351910542261028 × 6371000     		do = 1719.60850343883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57846623-1.57923322) × cos(-1.21145472) × R
    0.000766990000000023 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 1718.3743051998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21118490)-sin(-1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351910542261028-0.351657968858022)×R²
    abs(1.57923322-1.57846623)×0.000252573403006773×R²
    0.000766990000000023×0.000252573403006773×6371000²
    0.000766990000000023×0.000252573403006773×40589641000000     		ar = 2954986.15693247m²