Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6154 / 10029
↖ ↑ ↗
← S 37.387617°
W 44.780273°		 ← 1 941.25 m → S 37.387617°
W 44.758301°		 →
↑
1 941.05 m
↓
↑
1 941.05 m
↓
S 37.405074°
W 44.780273°		 ← 1 940.79 m →
3 767 622 m²		 S 37.405074°
W 44.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375640869140625 y=0.612152099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375640869140625 × 214)
    floor (0.375640869140625 × 16384)
    floor (6154.5)     		tx = 6154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612152099609375 × 214)
    floor (0.612152099609375 × 16384)
    floor (10029.5)     		ty = 10029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6154 / 10029 ti = "14/6154/10029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6154/10029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6154 ÷ 214
    6154 ÷ 16384     		x = 0.3756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10029 ÷ 214
    10029 ÷ 16384     		y = 0.61212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78156321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.2242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.704480676816345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78156321} λ = -0.78156321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704480676816345))-π/2
    2×atan(0.494365242935225)-π/2
    2×0.459129650981708-π/2
    0.918259301963415-1.57079632675     		φ = -0.65253702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78156321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65253702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.387617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6154 KachelY 10029 -0.78156321 -0.65253702 -44.780273 -37.387617
    Oben rechts KachelX + 1 6155 KachelY 10029 -0.78117972 -0.65253702 -44.758301 -37.387617
    Unten links KachelX 6154 KachelY + 1 10030 -0.78156321 -0.65284169 -44.780273 -37.405074
    Unten rechts KachelX + 1 6155 KachelY + 1 10030 -0.78117972 -0.65284169 -44.758301 -37.405074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65253702--0.65284169) × R
    0.000304670000000007 × 6371000     		dl = 1941.05257000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65253702--0.65284169) × R
    0.000304670000000007 × 6371000     		dr = 1941.05257000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78156321--0.78117972) × cos(-0.65253702) × R
    0.000383489999999931 × 0.794545868197475 × 6371000     		do = 1941.24621651311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78156321--0.78117972) × cos(-0.65284169) × R
    0.000383489999999931 × 0.794360834439696 × 6371000     		du = 1940.79413929946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65253702)-sin(-0.65284169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794545868197475-0.794360834439696)×R²
    abs(-0.78117972--0.78156321)×0.000185033757778896×R²
    0.000383489999999931×0.000185033757778896×6371000²
    0.000383489999999931×0.000185033757778896×40589641000000     		ar = 3767622.23389129m²