Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61539 / 34533
↖ ↑ ↗
← N 64.504733°
W 10.978089°		 ← 131.47 m → N 64.504733°
W 10.975342°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 64.503550°
W 10.978089°		 ← 131.47 m →
17 288 m²		 N 64.503550°
W 10.975342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469509124755859 y=0.263469696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469509124755859 × 217)
    floor (0.469509124755859 × 131072)
    floor (61539.5)     		tx = 61539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263469696044922 × 217)
    floor (0.263469696044922 × 131072)
    floor (34533.5)     		ty = 34533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61539 / 34533 ti = "17/61539/34533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61539/34533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61539 ÷ 217
    61539 ÷ 131072     		x = 0.469505310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34533 ÷ 217
    34533 ÷ 131072     		y = 0.263465881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469505310058594 × 2 - 1) × π
    -0.0609893798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19160379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263465881347656 × 2 - 1) × π
    0.473068237304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.4861876989206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19160379} λ = -0.19160379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4861876989206))-π/2
    2×atan(4.42021217760552)-π/2
    2×1.34830814741928-π/2
    2.69661629483855-1.57079632675     		φ = 1.12581997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19160379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.978089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12581997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.504733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61539 KachelY 34533 -0.19160379 1.12581997 -10.978089 64.504733
    Oben rechts KachelX + 1 61540 KachelY 34533 -0.19155585 1.12581997 -10.975342 64.504733
    Unten links KachelX 61539 KachelY + 1 34534 -0.19160379 1.12579933 -10.978089 64.503550
    Unten rechts KachelX + 1 61540 KachelY + 1 34534 -0.19155585 1.12579933 -10.975342 64.503550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12581997-1.12579933) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12581997-1.12579933) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19160379--0.19155585) × cos(1.12581997) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430436539571507 × 6371000     		do = 131.466398621657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19160379--0.19155585) × cos(1.12579933) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430455169574011 × 6371000     		du = 131.472088703958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12581997)-sin(1.12579933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430436539571507-0.430455169574011)×R²
    abs(-0.19155585--0.19160379)×1.86300025038499e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86300025038499e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86300025038499e-05×40589641000000     		ar = 17287.8689808682m²