Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61538 / 34531
↖ ↑ ↗
← N 64.507097°
W 10.980835°		 ← 131.43 m → N 64.507097°
W 10.978089°		 →
↑
131.43 m
↓
↑
131.43 m
↓
N 64.505915°
W 10.980835°		 ← 131.43 m →
17 274 m²		 N 64.505915°
W 10.978089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469501495361328 y=0.263454437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469501495361328 × 217)
    floor (0.469501495361328 × 131072)
    floor (61538.5)     		tx = 61538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263454437255859 × 217)
    floor (0.263454437255859 × 131072)
    floor (34531.5)     		ty = 34531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61538 / 34531 ti = "17/61538/34531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61538/34531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61538 ÷ 217
    61538 ÷ 131072     		x = 0.469497680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34531 ÷ 217
    34531 ÷ 131072     		y = 0.263450622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469497680664062 × 2 - 1) × π
    -0.061004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19165172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263450622558594 × 2 - 1) × π
    0.473098754882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.48628357271984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19165172} λ = -0.19165172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48628357271984))-π/2
    2×atan(4.4206359804559)-π/2
    2×1.34832878031977-π/2
    2.69665756063954-1.57079632675     		φ = 1.12586123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19165172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.980835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12586123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.507097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61538 KachelY 34531 -0.19165172 1.12586123 -10.980835 64.507097
    Oben rechts KachelX + 1 61539 KachelY 34531 -0.19160379 1.12586123 -10.978089 64.507097
    Unten links KachelX 61538 KachelY + 1 34532 -0.19165172 1.12584060 -10.980835 64.505915
    Unten rechts KachelX + 1 61539 KachelY + 1 34532 -0.19160379 1.12584060 -10.978089 64.505915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12586123-1.12584060) × R
    2.06299999998549e-05 × 6371000     		dl = 131.433729999076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12586123-1.12584060) × R
    2.06299999998549e-05 × 6371000     		dr = 131.433729999076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19165172--0.19160379) × cos(1.12586123) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430399297069169 × 6371000     		do = 131.427603063619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19165172--0.19160379) × cos(1.12584060) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.43041791841193 × 6371000     		du = 131.433289314646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12586123)-sin(1.12584060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430399297069169-0.43041791841193)×R²
    abs(-0.19160379--0.19165172)×1.86213427610382e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86213427610382e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86213427610382e-05×40589641000000     		ar = 17274.3937786886m²