Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61538 / 34147
↖ ↑ ↗
← N 64.957279°
W 10.980835°		 ← 129.26 m → N 64.957279°
W 10.978089°		 →
↑
129.33 m
↓
↑
129.33 m
↓
N 64.956116°
W 10.980835°		 ← 129.26 m →
16 717 m²		 N 64.956116°
W 10.978089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469501495361328 y=0.260524749755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469501495361328 × 217)
    floor (0.469501495361328 × 131072)
    floor (61538.5)     		tx = 61538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260524749755859 × 217)
    floor (0.260524749755859 × 131072)
    floor (34147.5)     		ty = 34147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61538 / 34147 ti = "17/61538/34147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61538/34147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61538 ÷ 217
    61538 ÷ 131072     		x = 0.469497680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34147 ÷ 217
    34147 ÷ 131072     		y = 0.260520935058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469497680664062 × 2 - 1) × π
    -0.061004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19165172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260520935058594 × 2 - 1) × π
    0.478958129882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.50469134217394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19165172} λ = -0.19165172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50469134217394))-π/2
    2×atan(4.50276360255324)-π/2
    2×1.35225735673888-π/2
    2.70451471347776-1.57079632675     		φ = 1.13371839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19165172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.980835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13371839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.957279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61538 KachelY 34147 -0.19165172 1.13371839 -10.980835 64.957279
    Oben rechts KachelX + 1 61539 KachelY 34147 -0.19160379 1.13371839 -10.978089 64.957279
    Unten links KachelX 61538 KachelY + 1 34148 -0.19165172 1.13369809 -10.980835 64.956116
    Unten rechts KachelX + 1 61539 KachelY + 1 34148 -0.19160379 1.13369809 -10.978089 64.956116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13371839-1.13369809) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dl = 129.331300000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13371839-1.13369809) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dr = 129.331300000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19165172--0.19160379) × cos(1.13371839) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423293908852553 × 6371000     		do = 129.257887293855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19165172--0.19160379) × cos(1.13369809) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423312300411479 × 6371000     		du = 129.263503377623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13371839)-sin(1.13369809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423293908852553-0.423312300411479)×R²
    abs(-0.19160379--0.19165172)×1.83915589255235e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83915589255235e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83915589255235e-05×40589641000000     		ar = 16717.4537673247m²