Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61538 / 33914
↖ ↑ ↗
← N 65.226800°
W 10.980835°		 ← 127.96 m → N 65.226800°
W 10.978089°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
N 65.225649°
W 10.980835°		 ← 127.96 m →
16 370 m²		 N 65.225649°
W 10.978089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469501495361328 y=0.258747100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469501495361328 × 217)
    floor (0.469501495361328 × 131072)
    floor (61538.5)     		tx = 61538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258747100830078 × 217)
    floor (0.258747100830078 × 131072)
    floor (33914.5)     		ty = 33914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61538 / 33914 ti = "17/61538/33914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61538/33914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61538 ÷ 217
    61538 ÷ 131072     		x = 0.469497680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33914 ÷ 217
    33914 ÷ 131072     		y = 0.258743286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469497680664062 × 2 - 1) × π
    -0.061004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19165172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258743286132812 × 2 - 1) × π
    0.482513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51586063978542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19165172} λ = -0.19165172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51586063978542))-π/2
    2×atan(4.55333822503151)-π/2
    2×1.35460937537744-π/2
    2.70921875075487-1.57079632675     		φ = 1.13842242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19165172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.980835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13842242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.226800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61538 KachelY 33914 -0.19165172 1.13842242 -10.980835 65.226800
    Oben rechts KachelX + 1 61539 KachelY 33914 -0.19160379 1.13842242 -10.978089 65.226800
    Unten links KachelX 61538 KachelY + 1 33915 -0.19165172 1.13840234 -10.980835 65.225649
    Unten rechts KachelX + 1 61539 KachelY + 1 33915 -0.19160379 1.13840234 -10.978089 65.225649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13842242-1.13840234) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dl = 127.929679999152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13842242-1.13840234) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dr = 127.929679999152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19165172--0.19160379) × cos(1.13842242) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.419027425748718 × 6371000     		do = 127.955065352307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19165172--0.19160379) × cos(1.13840234) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.419045657773665 × 6371000     		du = 127.960632720456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13842242)-sin(1.13840234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419027425748718-0.419045657773665)×R²
    abs(-0.19160379--0.19165172)×1.82320249468848e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82320249468848e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82320249468848e-05×40589641000000     		ar = 16369.6066810699m²